Verteilungsfunktion zu ZV bestimmen

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Zufallsgenerator18 Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion zu ZV bestimmen
Meine Frage:
Hallo Zusammen!

Ich hänge an folgender Aufgabe:

Gegeben sei W.-Raum (R, B, P), B sei die Borel-Menge auf R und P die Dichte:



Bin leider noch Latex-Anfänger und konnte ich dahinterschreiben, dass ersteres für x größer/gleich 0 gilt.

Zudem ist folgende ZV gegeben:

0 für
2 für
4 für
6 für


Folgende Aufgaben dazu:


a) Ist Yunglücklich R,B)->(R,B) eine ZV?

b) Wie ist die Verteilungsfunktion?

c) Bestimmen der kleinsten Sigmaalgebra.


Meine Ideen:
Also zu a: Hier kann ich doch sagen, dass Y eine ZV ist, da die Definition erfüllt ist, dass jedes Element der Ergebnismenge auf eine reelle Zahl abgebildet wird.

Zu b: Hier bin ich mir bei der Erstellung der VF unsicher. Muss ich die Dichtefunktion über die verschiedenen Integrale der ZV integrieren und ausrechnen? Ich darf für diese Aufgabe keinen TR benutzen.

Zu c: Hier fehlt mir jeder Ansatz. Wir stelle ich die Sigmaalgebra auf? Ich weiß, dass diese aus der Ergebnismenge und der leeren Menge und dein einzelnen Mengen mit ihren Komplementen und Vereinigungen besteht, aber ich habe keine konkreten Mengen gegeben, oder sehe ich das falsch?

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Einige Sachen mögen an unzureichenden LaTeX-Kenntnissen liegen, andere an purer Schlamperei:

Zitat:
Gegeben sei ein W-Raum mit Borel-Sigmaalgebra sowie W-Maß mit Dichte

.

Gegeben ist weiterhin die reelle Funktion

.

a) Ist eine Zufallsvariable?

Es soll ja erst nachgewiesen werden, dass eine Zufallsvariable ist! Definiert ist es erstmal nur als reelle Funktion. Das hängt dann auch unmittelbar mit deiner ersten Nachfrage zusammen:

Zitat:
Original von Zufallsgenerator18
Also zu a: Hier kann ich doch sagen, dass Y eine ZV ist, da die Definition erfüllt ist, dass jedes Element der Ergebnismenge auf eine reelle Zahl abgebildet wird.

Nein, das allein reicht nicht - du musst auch noch die Messbarkeit zeigen: Im Definitionssinne bedeutet dies, dass du für alle Borelmengen zeigen musst, dass auch das Urbild eine Borelmenge ist. Es gibt allerdings einfacher nachzuprüfende hinreichende Kriterien für diese Borelmessbarkeit - schau mal in deinen Unterlagen diesbezüglich nach.

Zitat:
Original von Zufallsgenerator18
Zu b: Hier bin ich mir bei der Erstellung der VF unsicher. Muss ich die Dichtefunktion über die verschiedenen Integrale der ZV integrieren und ausrechnen? Ich darf für diese Aufgabe keinen TR benutzen.

Zu berechnen ist



für alle reellen Werte . Also erstmal bestimmen, wie diese Urbilder aussehen, dann kannst du die Integrationen vornehmen.

Zitat:
Original von Zufallsgenerator18
Zu c: Hier fehlt mir jeder Ansatz.

So, wie die Frage momentan da steht, ist sie schlicht Bullshit. Einigermaßen sinnvoll wäre z.B.

Zitat:
Bestimmen Sie die kleinste Sigmaalgebra, bzgl. der borelmessbar ist

aber vielleicht ist ja was ganz anderes gemeint? Falls du es warst, der die Aufgabenstellung so verkrüppelt hat, dann bringe das bitte in Ordnung.


P.S.: Aufgabenstellungen verkürzen bzw. gravierend umformulieren sollte man sich erst dann getrauen, wenn man sie inhaltlich verstanden hat - vorher bitte wortwörtlich wiedergeben. unglücklich
Zufallsgenerator18 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000, erstmal vielen lieben Dank für deine Antwort. Ich habe natürlich auch sehr schlampig die Aufgabe wiedergegeben und entschuldige mich hierfür sehr! Trotzdem danke, dass du mir helfen möchtest.

zu a) Hier muss ich unsere Kriterien nochmal anschauen. Ich hatte zwar gelesen, dass alle stetigen Funktionen borelmessbar sind, hier habe ich jedoch Punktmengen in der ZV und muss mal schauen, welche Kriterien ich dort hatte.

zu b) Ich würde hier also folgende VF aufstellen:



Setze ich dann jeweils die Integrale ein? Irgendwas kann hier doch nicht stimmen. Meine VF muss doch immer bei 0 starten. Wo ist mein Denkfehler.


zu c) Natürlich soll man hier die kleinste Sigmaalgebra auf bestimmen, unter der eine Zufallsvariable ist.
Zufallsgenerator18 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier meine Antwort zu b)

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zufallsgenerator18
Ich hatte zwar gelesen, dass alle stetigen Funktionen borelmessbar sind

Was hier aber nichts nützt, das nicht stetig ist. Aber zumindest stückweise stetig (d.h. nur isolierte Sprungstellen) - und das ist ebenfalls hinreichend für Borelmessbarkeit.

Zitat:
Original von Zufallsgenerator18
Hier meine Antwort zu b)


Nein. Für ist



die Verteilungsfunktion des W-Maßes P, nicht aber die der Zufallsgröße . Immerhin kannst du dies als Hilfsresultat nutzen, wenn du bestimmen willst.


Ich geb mal die Urbilder an, und du überlegst dir anhand der Definition, warum das so ist:



Dementsprechend ist dann

.


c) hängt ganz eng mit den möglichen Urbildern zusammen - so viele sind das ja nicht...
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