Eigenvektoren von Matrix A nach A ableiten

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Mathenoob23 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren von Matrix A nach A ableiten
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Gegeben ist ein symmetrischer Tensor 2ter Stufe (3x3).

Ist es möglich den Eigenvektor (zugehörig zu dem größten Eigenwert) nach dem Tensor selbst abzuleiten und wenn ja, wie?

Ich selbst habe Ansätze gefunden wie man nach einer spektralen Zerlegung die Eigenbasis jedoch nicht den -vektor nach dem Tensor ableitet.

Gruß und Danke für jeglichen Input
Dirk

Meine Ideen:
Also zunächst bestimme ich die Eigenwerte mit dem charakteristischen Polynom.


Anschließend erhalte ich die Eigenvektoren durch Lösung des linearen Gleichungssystems.



Ab da stehe ich quasi auf dem Schlauch. Sehe den Ansatz nicht wirklich.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren von Matrix A nach A ableiten
Man kann unter gewissen Umständen die Ableitung bilden. Wichtig ist aber, dass der Eigenraum des größten Eigenwertes eindimensional ist.

In dem Fall kann man abstrakt mit dem Satz der impliziten Funktionen nachrechnen, dass "der" Eigenvektor glatt von ist. Da der Eigenraum unendlich viele Vektoren enthält, muss man vorsichtig sein was man überhaupt damit meint.

Üblicherweise: Wenn eine glatte Funktion ist (so dass der Eigenraum des größten Eigenwertes immer eindimensional ist), dann existiert eine eindeutige glatte Funktion und eine zwingend nicht-eindeutige, glatte Funktion mit und für alle und ist der größte Eigenwert von .

Einen Beweis dazu findet man im Evans, Partial Differential Equations zu strikt-hyperbolischen Systemen.

Da die Eigenwerte eindeutig bestimmt sind, die Eigenvektoren ganz und gar nicht, ist es deutlich komplizierter damit zu arbeiten. Für wird man schon viel rechnen müssen...
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