Lebesguemaß eines kleinerwerdenen Intervalls

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AnNa2304 Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesguemaß eines kleinerwerdenen Intervalls
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich hätte mal eine (hoffentlich) nicht doofe Frage:

Gegeben sei eine Folge positiver Zahlen die gegen 0 konvergiert und sei .

Ich interessiere mich für das Maß der Intervalle

Meine Ideen:
Kann man überhaupt ein sinnvollen Maßbegriff für solche Intervalle bilden, oder muss man für jedes das Maß bestimmen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Lebesgue-Maß eines eindimensionalen Intervalls ist dessen Länge, also , und das für jedes .

Oder meinst du das Maß des Durchschnitts ? verwirrt
AnNa2304 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, erstmal Danke für deine Antwort. Freude Das hat mich auf jeden Fall schonmal bestätigt in meinen Überlegungen. Leider muss ich das noch etwas ausweiten und es wird wahrscheinlich in den Bereich der Stochastik gehen. Ich hoffe, dass ist nicht schlimm.

Seien zufällige Poissonverteilte Punktansammlungen auf dem

Nun kommt die angesprochene Folge die gegen konvergiert.

Ferner sei

Dann heißt zufällige Cantor-Menge

Ziel: Oder anders ausgedrückt. Wie hoch ist die WK, dass ein Punkt in der Cantor-Menge ist. (über die Eigenschaften der Cantormenge weiß ich bescheid)

Wir haben einen Satz über die Wahrscheinlichkeit bereits formuliert:

Für beliebige bzw. gilt:

Also ist bei uns für beliebige die Wahrscheinlichkeit, dass nicht in den Intervallen und somit in der Cantormenge liegt gleich

Nun möchte ich das für alle haben und erhalte:



=

und nun hänge ich... Angemerkt sei, dass die unabhängig sind. Wahrscheinlich fehlen mir da einfach Stochastische Werkzeuge bzw. Tricks, die ich gerade nicht sehe...

Was ich erwarte: Da die Cantormenge überabzählbar ist, und gleichmächtig mit , könnte ich mir vorstellen, dass die WK, dass in der Cantormenge liegt gegen 1 geht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin grad noch beim Nachvollziehen deines Beitrags, aber hier muss ich bereits stutzen:

Zitat:
Original von AnNa2304
Seien zufällige Poissonverteilte Punktansammlungen auf dem

Den weiteren Überlegungen nach meinst du einen homogenen Poissonprozess mit Intensität 1 ? Beides sollte auf jeden Fall erwähnt werden.

Zitat:
Original von AnNa2304
Nun möchte ich das für alle haben und erhalte:


Hier geht was völlig daneben: Wie kann man denn Wahrscheinlichkeiten (das sind reelle Zahlen) vereinigen? Aber auch wenn du stattdessen meinen solltest, ist das komplett falsch. So wie ich das sehe, müsste



gelten, bei geht dabei die Unabhängigkeit der ein.


Zitat:
Original von AnNa2304
Was ich erwarte: Da die Cantormenge überabzählbar ist, und gleichmächtig mit , könnte ich mir vorstellen, dass die WK, dass in der Cantormenge liegt gegen 1 geht.

Ein gewaltiger Fehlschluss: Die klassische Cantor-Menge (so will ich sie mal in Unterscheidung zu deinen Cantormengen nennen) ist ebenfalls überabzählbar, besitzt aber Lebesgue-Maß Null - das sollte eine deutliche Warnung für derart leichtfertige Vermutungen sein.
AnNa2304 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Den weiteren Überlegungen nach meinst du einen homogenen Poissonprozess mit Intensität 1 ? Beides sollte auf jeden Fall erwähnt werden.


Korrekt. Intensität ist zwar nicht zwangsläufig 1 in meinem Fall, aber wollte es "einfacher" und übersichtlicher halten. Und ja, der Poisson-PP ist homogen.


Danke für die Umformungen. Das meinte ich
Zitat:
Wahrscheinlich fehlen mir da einfach Stochastische Werkzeuge bzw. Tricks, die ich gerade nicht sehe...

Und damit ist dann bei
Zitat:

schluss, oder? Ich kann nicht weiter mit Grenzwertprozessen o.Ä. argumentieren, richtig?

Ich hatte gehofft, dass ich einen "schönes" Ergebnis, wie oder rauskriege...

da,
Zitat:
Ein gewaltiger Fehlschluss: Die klassische Cantor-Menge (so will ich sie mal in Unterscheidung zu deinen Cantormengen nennen) ist ebenfalls überabzählbar, besitzt aber Lebesgue-Maß Null - das sollte eine deutliche Warnung für derart leichtfertige Vermutungen sein.

ich dachte, jede beliebige Cantormenge ist zu der klassischen Cantormenge ein Homöomorphismus und hat damit die gleichen topologischen Eigenschaften.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AnNa2304
Ich hatte gehofft, dass ich einen "schönes" Ergebnis, wie oder rauskriege...

Wie bitte??? Du hast nun das Ergebnis in einer denkbar einfachen Formel in Abhängigkeit der gegebenen vorliegen und beschwerst dich da noch? geschockt

Es kommt nun mal nie 1 raus, und 0 genau dann, wenn die Reihe divergiert.
 
 
AnNa2304 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du hast nun das Ergebnis in einer denkbar einfachen Formel in Abhängigkeit der gegebenen


Hast du auch wieder Recht. Augenzwinkern

Nun soll ich für meine Ausarbeitung mit den ein bisschen experimentieren und verändern.

Das habe ich gemacht und habe als Beispiel die Intervalle so gewählt: , sodass die klassische geometrische Reihe entsteht und ich so einen Grenzwert von habe. Damit erhalte das Ergebnis:



Das ist doch so zulässig, oder?

Als nächstes fand ich ganz interessant was du gesagt hast.

Zitat:
Es kommt nun mal nie 1 raus

Sehe ich ein. Hast mich überzeugt Freude

Zitat:
und 0 genau dann, wenn die Reihe divergiert.

Wie meinst du das genau? So?

wenn

Dieser Fall wäre wirklich interessant für mich, da ich glaube mein Prof will darauf hinaus. (Ich weiß wirklich noch nicht ganz genau wie. Auch wenn ich denke, dass ich nah dran bin). Ich würde meine so wählen, dass die Summe der harmonischen Reihe entspricht. Damit hätte ich die Divergenz.
Ich habe nur Bedenken, überhaupt mit dem Grenzwert zu argumentieren.
Bei Reihen ist ja der Wert der Reihe gleich dem Grenzwert. Ist es denn mathematisch korrekt zu schreiben ?

Ich muss mich schonmal im Voraus für deine Hilfe bedanken.

Anna
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AnNa2304
Zitat:
und 0 genau dann, wenn die Reihe divergiert.

Wie meinst du das genau? So?

wenn

Ja klar, es gibt nur eine mögliche Divergenz für eine Reihe mit ausschließlich positiven Gliedern: Die bestimmte Divergenz gegen .

Zitat:
Original von AnNa2304
Ich habe nur Bedenken, überhaupt mit dem Grenzwert zu argumentieren.
Bei Reihen ist ja der Wert der Reihe gleich dem Grenzwert. Ist es denn mathematisch korrekt zu schreiben

Nein, korrekt ist .

Wenn dir dabei unwohl ist, kannst du ja auch gern erstmal berechnen, und dann betrachten in Verbindung mit der Stetigkeit des W-Maßes.
AnNa2304 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm bei der Argumentation der Stetigkeit des W-Maßes nicht weiter, und dreh mich da irgendwie im Kreis, sodass ich keine sinnvolle Argumenationskette zusammenkriege. traurig

Dann eben anders...
Ist es formal korrekt so:



Und nun



da:



Also folgt insgesamt für



und insbesondere:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dröseln wir es mal ganz, ganz ausführlich auf:

Betrachten wir , dann ist für festes eine monoton wachsende Mengenfolge, entsprechend ist das Komplement (bzgl. Grundmenge ) eine monoton fallende Mengenfolge, mit Grenzwert . Die Maßstetigkeit angewandt auf das Wahrscheinlichkeitsmaß besagt dann




Zitat:
Original von AnNa2304
Also folgt insgesamt für



und insbesondere:

Richtig.
AnNa2304 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ok, dröseln wir es mal ganz, ganz ausführlich auf:

Betrachten wir , dann ist für festes eine monoton wachsende Mengenfolge, entsprechend ist das Komplement (bzgl. Grundmenge ) eine monoton fallende Mengenfolge, mit Grenzwert . Die Maßstetigkeit angewandt auf das Wahrscheinlichkeitsmaß besagt dann



Ok, dass habe ich verstanden, glaube ich.
Die Mengen sind in meinem Fall doch eben die Bereiche von die nicht in den Intervallen liegen. Diese sind ja, dadurch das die Intervalle so gewählt wurden, immer kleiner, da die Reihe der divergiert.
So weit so gut Freude



Nun hapert es wieder.. verwirrt

Wie kann ich das expliziet auf meine Problemstellung übertragen?

Es ist doch:



Aber wie formaliesiere ich das nun?



Ich verzweifel langsam. ich dachte ich hätte so gut wie die Lösung und müsste nur 5 Minuten über die formale Korrektheit nachdenken traurig
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Herrje, kannst du denn nicht einmal zwei und zwei zusammenzählen bei diesem billigen Restproblem??? Die Maßkonvergenz liefert

.

Und das ergibt Wert Null im Divergenzfall , sowie im Konvergenzfall .
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