Matrix A aus Mat(m x n, R) => rang(A) = rang(A^T A)

04.10.2018, 23:33	hilbert23	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix A aus Mat(m x n, R) => rang(A) = rang(A^T A) Meine Frage: Folgende Aufgabenstellung aus meiner Lineare Algebra II Vorlesung: Sei Matrix A aus Mat(m x n, R) => rang(A) = rang(A^T A) Meine Ideen: Mein 1. Ansatz war: Folgende Aussagen lassen sich aus den mir aus der VL bekannten Sätzen leicht ableiten: Satz 1: rang(A) = rang(A^T) Satz 2: n = rang(A) + defekt(A) Satz 3: n = rang(A^T A) + defekt(A^T A) Wenn ich die Aussage: defekt(A) = defekt(A^T A) beweisen kann, bin ich fertig. Trivialerweise gilt: defekt(A) <= defekt(A^T A) Mir gelingt es z. Zt. allerdings nicht die Aussage: defekt(A^T A) <= defekt(A) zu beweisen. Die obengenannten Sätze 1 - 3 benutzen nichts für die transponierte Matrix A^T spezifisches. Höchstens noch der Satz 1. Dieser sagt aber nur, dass der Rang der nachgeschalteten Funktion A^T in der Komposition A^T A (als lin. Abbildung verstanden) den gleichen Rang hat wie A. Damit ist meines Wissens nur etwas anzufangen, wenn A (und damit A^T) eine quadratische invertierbare Matrix ist. Meine Aufgabenstellung ist aber allgemeiner. Daher habe ich mich an einem zweiten Ansatz versucht: Zweiter Ansatz: Satz 4: C aus Mat(m x n, R) , D aus Mat( n x p, R) => rang(CD) = rang(D) - dim( Schnittmenge von Kern(C) mit Bild(D) ) ( Diesen Satz kann ich zwar beweisen, wir haben ihn aber nicht in der VL durchgenommen. ) Satz 4 auf die zu beweisende Aussage gemünzt: rang(A^T A) = rang(A) - dim( Schnittmenge von Kern(A^T) mit Bild(A) ) . Wenn ich also dim( Schnittmenge von Kern(A^T) mit Bild(A) ) = 0 beweise bin ich fertig. Dies erscheint mir zwar plausibel, aber ein Beweis hierfür gelingt mir z. Zt. auch nicht. Ich freue mich auf eure Anregungen zur Lösung dieses Problems. PS: Latex-Vorschau hat bei mir weder in Firefox noch im Internet Explorer funktioniert, daher die unkonventionelle Formulierung meines Problems
05.10.2018, 09:28	NurEinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe, dass du Latex in diesem Beitrag sehen kannst. Wenn nicht, zitiere diesen Beitrag, um den Code zu sehen. Zwei Möglichkeiten, um fortzufahren: 1) $\begin{eqnarray} \text{defekt}(A^T A) \leq \text{defekt}(A) \end{eqnarray}$ hast du. Das kannst du nutzen, um eine ähnliche Abschätzung für die Ränge zu bekommen. Eine Möglichkeit fortzufahren ist jetzt die folgende Variante deines Satzes 4 zu beweisen: Sind $\begin{eqnarray} C, D \end{eqnarray}$ Matrizen passender Größe, so gilt $\begin{eqnarray} \text{rg}(CD) \leq \min\{\text{rg}(C), \text{rg}(D)\} \end{eqnarray}$ . 2) Wie bekannt sein sollte, ändern Spaltenumformungen das Bild einer Matrix nicht. Entsprechend ändern Zeilenumformungen den Kern einer Matrix nicht. Nach Durchführen von geeigneten Spaltenumformungen in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und den entsprechenden Zeilenumformungen in $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ bekommen wir ggf. Nullspalten in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und entsprechende Nullzeilen in $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ . Durch ggf. Weglassen dieser können wir annehmen, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ vollen Rang hat. Um Satz 4 nutzen zu können, musst du jetzt $\begin{eqnarray} \text{defekt}(A^T) = 0 \end{eqnarray}$ zeigen. Eine Möglichkeit um das zu zeigen, die ich ganz schön finde (aber vielleicht ein Overkill ist), ist die folgende: Die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ induziert den Epimorphismus $\begin{eqnarray} f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m, x \mapsto Ax \end{eqnarray}$ mit Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bezüglich den Standardbasen. Dann hat die zu $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ duale Abbildung $\begin{eqnarray} f^ \colon (\mathbb R^m)^* \to (\mathbb R^n)^, \phi \mapsto f^ \phi = \phi \circ f \end{eqnarray}$ bezüglich der zu den Standardbasen dualen Basen die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ . Kannst du unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ surjektiv ist, zeigen, dass $\begin{eqnarray} f^* \end{eqnarray*}$ injektiv ist?
05.10.2018, 11:03	hilbert23	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Tipps. Du schreibst: "defekt(A^T A) <= defekt(A) hast du" Nein, diese Ungleichung habe ich noch nicht beweisen. Ich habe lediglich die Ungleichung defekt(A) <= defekt(A^T A) bewiesen. Wenn ich die Ungleichung defekt(A^T A) <= defekt(A) bewiesen hätte, gilt defekt(A) = defekt(A^T A) und mit Satz 2 und 3 folgt dann die Behauptung.
05.10.2018, 11:12	NurEinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
Da habe ich wohl falsch gelesen. Nutze dann also Möglichkeit 2). Zu Möglichkeit 2): Natürlich muss man nicht über die duale Abbildung gehen. Ich wollte nur eine Möglichkeit präsentieren die Aufgabe unabhängig von "Zeilenrang = Spaltenrang", zu lösen. Du kannst das natürlich aber auch verwenden.
05.10.2018, 11:54	NurEinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
Übrigens kann man Möglichkeit 1) wie folgt retten: Möglichkeit 1'): Seien o.B.d.A. (um die Rechnung etwas leichter zu machen) die ersten $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Spalten $\begin{eqnarray} v_1, ..., v_k \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \text{im}(A) \end{eqnarray}$ , die restlichen Spalten gleich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ (wieso darf man das annehmen?) Berechne dann $\begin{eqnarray} A^T A \end{eqnarray}$ konkret, um $\begin{eqnarray} \text{rg}(A) \leq \text{rg}(A^TA) \end{eqnarray}$ zu zeigen. (Die andere Ungleichung hast du schon festgestellt. Diese ist also die wirklich wichtige. Aus der Berechnung folgt dann aber sowieso sofort " $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ ".) Möglichkeit 1''): Möglichkeit 1') wird noch leichter, wenn man annimmt, dass $\begin{eqnarray} v_i \perp v_j \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \neq j \end{eqnarray}$ . Da muss man dann allerdings begründen, wieso man das fordern darf.
05.10.2018, 20:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix A aus Mat(m x n, R) => rang(A) = rang(A^T A) Aus $\begin{eqnarray} A^TAx=0 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} 0=x^TA^TAx=(Ax)^TAx=\\|Ax\\|^2 \end{eqnarray}$ rechts steht die euklidische Norm. Also ist $\begin{eqnarray} Ax=0 \end{eqnarray}$ und damit defekt(A^T A) <= defekt(A)
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07.10.2018, 09:57	hilbert23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix A aus Mat(m x n, R) => rang(A) = rang(A^T A) Vielen Dank für eure Unterstützung, da wir den Satz 4: rang(CD) = rang(D) - dim( Schnittmenge von Kern(C) mit Bild(D) ) ,wie gesagt, nicht in der VL durchgenommen haben, werde ich mit dem schnellen Argument von URL meinen 1. Ansatz fertigstellen.

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