100 Einwohner auf einer Insel [Logik]

06.10.2018, 15:32

jugin2509

100 Einwohner auf einer Insel [Logik]

Hallo,
ich versuche mich schon seit Stunden durch diesen Thread zu kämpfen, weil ich die gleiche Übung als Hausaufgabe bearbeiten muss.

Am besten nochmal die Aufgabe:

Zitat:

"Eine kleine Insel hat genau 100 Einwohner. Alle sind zimelich merkwürdige Typen, da Sie auf die Fragen stets mit Aussagen antworten. Aber es gibt 2 Sorten: Ein Teil der Einwohner sagt stets die Wahrheit, während die anderen lügen.Ein Forscher der herausfinden möchte wie viele Lügner auf der Insel wohnen, fragt jeden Einwohner der Reihe nach: "Wie viel Lügner gibt es auf der Insel?"Der erste antwortet:"Bei uns gibt es mindestens einen Lügner." Der zweite antwortet:" Unter uns leben mindestens 2 Lügner." usw. Schließlich antwortet der letzte:" Es gibt mindestens 100 Lügner."Wie viele Lügner gibt es nun auf der Insel?"

Zuerst kam ich ganz gut voran und konnte bist zum ersten Widerspruch von $\begin{eqnarray*} i>n-i \end{eqnarray*}$ folgen.Danach wurde das Ganze von "unten" betrachtet und ich verstand nur noch Bahnhof und alles widerspricht sich für mich.

Mein erstes Problem ist, wieso wir annehmen dass die 10 Person ein Lügner sein muss.Nehmen wir an, dass die Person sagt: "Es gibt mindestens 10 Lügner" .Wenn die 10 Person wirklich ein Lügner ist,macht sich ja gleichtzeitig zu einem Wahrsager wenn er diese Aussage macht. Genauso anders herum kann er ja kein Wahrsager sein, weil seine Aussage dann nicht stimmt.Was ist er denn nun??

Ich habe jetzt extra nicht mehr aus dem Thread zitiert, weil ich irgendwie gar kein Fundament habe, auf was ich aufbauen soll bei solchen Aufgaben.

Könnte mir vielleicht jemand Hilfestellung zu meinem ersten Problem gebe, damit ich überhaupt einen Ansatz habe.

Vielen Dank Gott

06.10.2018, 16:26

adiutor62

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RE: 100 Einwohner auf einer Insel [Logik]
https://www.janko.at/Raetsel/Logik/013.a.htm

https://www.logisch-gedacht.de/forum/?board=4&thema=61

06.10.2018, 17:25

jugin2509

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Danke für die beiden Links,
ich versuche mal auf den Ersten einzugehen, weil ich dort am meisten folgen kann.

Zitat:

a) Es gibt genau 50 Lügner!Sei N die Anzahl der Lügner auf der Insel, dann sind die Aussagen "Es gibt mindestens M Lügner" richtig für die Zahlen M aus 1..N. So sprechen die Wahrheitsliebenden. Die Aussage für M > N ist also falsch, wird also genau von den Lügnern gemacht Es gibt nun aber genau 100-N solche gelogenen Aussagen, gemacht von N Lügnern: 100 - N = N und daher N=50.

Also wenn $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Lügner ist, und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die "M-te gefragte Person" ist. Dann müssen alle Leute $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die Wahrheit gesagt haben solange $\begin{eqnarray*} M\leq N \end{eqnarray*}$ ? Verstehe ich das richtig?
Wenn also $\begin{eqnarray*} M> N \end{eqnarray*}$ wird, dann werden alle Aussagen unwahr und die Lügner kommen.

Zitat:

Es gibt nun aber genau 100-N solche gelogenen Aussagen, gemacht von N Lügnern

Wieso gibt es denn nun $\begin{eqnarray*} 100-N \end{eqnarray*}$ gelogene Aussagen, wenn es $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Lügner gibt?
Wenn es $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Lügner gibt , dann gibt es doch auch $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gelogene Aussagen.

Ich stehe total auf dem Schlauch...

06.10.2018, 17:39

klauss

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RE: 100 Einwohner auf einer Insel [Logik]
Ich bin kein besonderer Logik-Experte, habe mich aber mal an der Aufgabe versucht und - anhand der Links von adiutor62 - festgestellt, dass meine Lösung richtig war.

Strategie:
Zunächst stellt man fest, dass Person 1 die Wahrheit sagen muß und damit Person 100 ein Lügner ist.
Im folgenden stellt man durch Überlegung weiter fest, dass Person 2, 3, 4, 5 die Wahrheit sagen müssen.
Daraus läßt sich folgende Gesetzmäßigkeit erkennen:
Wenn Person n der erste Lügner ist, dann gibt es höchstens (n - 1) Lügner auf der Insel, nämlich Person n selbst, Person 100 plus höchstens (n - 3) weitere. Zugleich müssen dann aber alle auf Person n folgenden zwingend Lügner sein.
Also sagen die ersten (n - 1) die Wahrheit, alle anderen (jetzt genau) n - 1 lügen, in der Summe sind es 100.
Alternativ: Wenn (n - 1) Wahrsager, Person n und Person 100 "verbraucht" sind und auf Person n höchstens (n - 3) weitere Lügner folgen dürfen, muß gelten: n + (n - 3) = 99.

Zusatz
Oder so: Wenn Person n der erste Lügner ist, dann gibt es höchstens (n - 1) Lügner auf der Insel. Da die (n - 1)te Person dann der letzte Wahrsager ist, gibt es zugleich mindestens (n - 1) Lügner. Insgesamt also genau (n - 1) Lügner und (n - 1) Wahrsager.
(Manchmal kommt man auf die einfache Lösung erst, wenn man eine komplizierte gefunden hat.)

10.10.2018, 20:10

jugin2509

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RE: 100 Einwohner auf einer Insel [Logik]
Guten Abend,
wollte mich mal melden und mich für die späte Antwort entschuldingen. Ich bin nicht einfach nach der Lösung abgetaucht, sondern hatte einfach keinen ruhigen Moment für die Aufgabe. Was ich bei der Aufgabe definitv brauche. Big Laugh

Aber nun zu der Aufgabe Teufel

Zitat:

Original von klauss
Strategie:
Zunächst stellt man fest, dass Person 1 die Wahrheit sagen muß und damit Person 100 ein Lügner ist.
Im folgenden stellt man durch Überlegung weiter fest, dass Person 2, 3, 4, 5 die Wahrheit sagen müssen.

Also ich bin jetzt mittlerweile so weit, dass ich diese Überlegungen verstehe.Die Lösung von unserem Professor hat im Prinzip genau darauf aufgebaut, weil wir ja sonst immer im Widerspruch stecken, was zu verhindern ist. Leider haben wir dann einfach gesagt , dass sich die Wahrsager und Lügner in der Mitte treffen und es deswegen 50/50 sein müssen.

Nun würde ich das ganze mal gerne schriftlich festhalten und komme schon bei:

Zitat:

Wenn Person n der erste Lügner ist, dann gibt es höchstens (n - 1) Lügner auf der Insel, nämlich Person n selbst, Person 100 plus höchstens (n - 3) weitere. Zugleich müssen dann aber alle auf Person n folgenden hat.)

nicht weiter.
Nehmen wir als Beispiel, dass Person n=38 der erste Lügner ist.

38. Person lügt ==> (n-1) Person haben vorher die Warheit gesagt ==> Es gibt mindestens (n-1) Lügner

Wie kommen Sie jetzt auf das höchstens (n-1) Lügner.

Grüße Eugen

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