Erwartungswert und Varianz berechnen

06.10.2018, 21:56	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Varianz berechnen Hallo allerseits, gegeben die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion $\begin{eqnarray} G_n(z) = \prod_{1 \leq k \leq n} \frac{1+z^k}{2} \end{eqnarray}$ sind Erwartungswert und Varianz gesucht. Aus dem Internet habe ich, dass der Erwartungswert dem Grenzwert der 1. Ableitung für z-->1 entspricht und die Varianz dem Grenzwert von $\begin{eqnarray} G_n''(z) + G_n'(z) - G_n'(z)^2 \end{eqnarray}$ für z--> 1. Allerdings wird das beim Ableiten ein sehr, sehr, sehr langes ineinander verschachteltes Produkt, mit dem ich nicht umzugehen weiß. Gibt es da irgendeinen "Trick" oder etwas, das ich übersehe, wie man Erwartungswert und Varianz erhält?
06.10.2018, 22:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Übergehen zum Logarithmus: Es ist $\begin{eqnarray} \ln(G_n(z)) = \sum_{k=1}^n \ln(1+z^k) - n\ln(2) \end{eqnarray}$ , dies abgeleitet ergibt sich $\begin{eqnarray} \frac{G_n'(z)}{G_n(z)} = \sum_{k=1}^n \frac{kz^{k-1}}{1+z^k} \end{eqnarray}$ und nochmal abgeleitet $\begin{eqnarray} \frac{G_n''(z)G_n(z)-(G_n'(z))^2}{(G_n(z))^2} = \sum_{k=1}^n \ldots \end{eqnarray}$ .
06.10.2018, 22:53	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000, vielen Dank für den Input! Ich glaube, genau dieser Tipp hat mir gefehlt. Mein Ergebnis ist nun für den Erwartungswert: $\begin{eqnarray} \frac{n\cdot (n+1)}{4} \end{eqnarray}$ und für die Varianz: $\begin{eqnarray} \frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{24} \end{eqnarray}$
06.10.2018, 23:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich auch raus. Da es unwahrscheinlich ist, dass wir uns beide dermaßen gleich verrechnet haben, wird es wohl stimmen.
07.10.2018, 05:10	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke!
24.01.2019, 19:05	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das Thema war zwar schon geschlossen, aber ich habe nun noch eine Frage dazu: Ist dieses Vorgehen auch für $\begin{eqnarray} F(z) = \prod_{k=0}^{n-1}(\frac{z^0 + z^2 + z^4 + .... + z^{2k}}{k+1})^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} G_n(z) = \frac{1}{3^n}\prod_{k=1}^n(\frac{1}{2} + 2z^k + \frac{1}{2} z^{2k}) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} H(z) = 2^{-n}\prod_{k=1}^n(1+\frac{1}{2}z^k + \frac{1}{2}z^{3k}) \end{eqnarray}$ am sinnvollsten oder gibt es da etwas, das schneller zum Ziel führen würde? (Ich habe es nämlich auf H(z) angewendet und das ist eine irre lange Rechnung geworden.)
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