Mengenlehre Stochastik

07.10.2018, 22:24	Stochastiker2018	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenlehre Stochastik Meine Frage: Hallöchen! Ich hänge total an folgender Aufgabe: Zeigen Sie, dass folgende Aussage für keine Teilmenge $\begin{eqnarray} A, B, C \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ erfüllt ist mit $\begin{eqnarray} 0<P(A),P(B),P(C)<1 \end{eqnarray}$ . Argumentieren Sie dabei mit den Eigenschaften für W.-Maße. $\begin{eqnarray} 1+P(A \cap B \cap C) = P(A \cap B) + P(B \cap C) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich brauche hier eine Hilfestellung, wie ich an diese Aufgabe herangehe. Folgende Eigenschaften kenne ich ja: (1) $\begin{eqnarray} P(A)\in [0,1] \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} P(\Omega)=1 \end{eqnarray}$ (3) Für eine Folge $\begin{eqnarray} (A_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ paarweiser disjunkter Elemente von A gilt: $\begin{eqnarray} P(\bigcup\limits_{j=1}^{\infty } A_{j})=\sum\limits_{j=1}^{\infty} (A_{j}) \end{eqnarray}$ Ich weiß aber nicht, wie ich genau, wie ich diese Eigenschaften nutzen kann. Ich könnte natürlich die 1 durch $\begin{eqnarray} P(\Omega) \end{eqnarray}$ . Mir sind nur die Umformungen noch nicht so klar.
07.10.2018, 23:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} P(U\cup V) = P(U)+P(V)-P(U\cap V) \end{eqnarray}$ , auf $\begin{eqnarray} U=A\cap B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V=B\cap C \end{eqnarray}$ angewandt bedeutet das $\begin{eqnarray} P(B\cap (A\cup C)) = P((A\cap B)\cup (B\cap C)) = P(A\cap B) + P(B\cap C) - P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray}$ . Jetzt die linke Seite mal scharf angeschaut, folgt schon fast die Behauptung.
07.10.2018, 23:48	Stochastiker2018	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Gleichung. Ich kann nur gerade nicht verstehen, woher du die zweite Gleichung nimmst. Wie kommst du auf? $\begin{eqnarray} P(B\cap (A\cup C)) \end{eqnarray}$ Ich dachte man fängt bei der Mengenlehre mit einer Seite der Gleichung an und versucht diese so umzuformen, dass die zweite Seite entsteht. Ich weiß nur nicht, wie ich die Eigenschaften einbeziehe.
08.10.2018, 08:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Gleichheit beruht auf $\begin{eqnarray} B\cap (A\cup C) = (B\cap A)\cup (B\cap C) \end{eqnarray}$ , das solltest du von den Grundlagen der Mengenlehre her kennen.
08.10.2018, 09:10	Stochastiker2018	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung kenne ich, das Gesetz dahinter auch. Habe nur nicht verstanden, woher du diese genommen hast. Der Gleichung Zufolge gilt ja durch umstellen: $\begin{eqnarray} P(A\cap B\cap C) = P(A\cap B) + P(B\cap C) \end{eqnarray}$ Stimmt das? Also ist die 1 zu viel.
08.10.2018, 11:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein! Der von mir aufgestellten Gleichung zufolge gilt $\begin{eqnarray} {\color{red} P(B\cap (A\cup C))} + P(A\cap B\cap C) = P(A\cap B) + P(B\cap C) \end{eqnarray}$ , und nachzuweisen ist, dass $\begin{eqnarray} {\color{red} 1} + P(A\cap B\cap C) = P(A\cap B) + P(B\cap C) \end{eqnarray}$ unter den angegebenen Voraussetzungen nicht möglich ist. Was also noch verbleibt ist der Nachweis von $\begin{eqnarray} P(B\cap (A\cup C))\neq 1 \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} P(B\cap (A\cup C))\leq 1 \end{eqnarray}$ ja klar, aber warum kann dieser Wert nicht =1 werden - das musst du noch begründen.
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