Matrix einer Bilinearform bestimmen

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Orly Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix einer Bilinearform bestimmen
Hallo,

Zur Klausurvorbereitung versuche ich mir gerade einige "Standardaufgabe" zu erarbeiten. Ich würde euch die Aufgabe gerne mal vorstellen und meine Ideen dazu. Dann hoffe ich auf Tipps von euch und probiere die Aufgabe durchzurechnen.

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(1) Es gibt ja für quadratische Matrizen die Form der Darstellungsmatrix mit den x^2, y^2, etc. auf der Hauptdiagonalen und xy/2 auf der Nebendiagonalen. Reicht das hier schon aus? Die zusätzlichen Variablen Lambda und Mu verwirren mich etwas.

(2) Gut, ich denke sobald die Matrix steht kann ich die Determinante ja ausrechnen. Oder ist da ein Trick dabei? Vielleicht ergibt sich das wenn ich (1) gelöst habe.

(3) Mit elementaren Methoden also folglich nicht mit dem Char. Pol.? So eine Aufgabe ist mir schon einmal begegnet. Ich hatte mir vieles überlegt, z.B. dass bei symmetrischen Matrizen die Det(A) gleich dem Produkt der EW bzw. die Spur gleich der Summe der EW (bei der anderen Aufgabe war die Matrix symmetrisch, ob das hier gilt ist natürlich erstmal noch offen). Wie ist denn dabei der Trick?

(4) Ein euklidischer Raum bedeutet doch, dass die Abstandsfunktion definiert ist. Kann ich da zwei beliebige Punkte im Raum nehmen und vergleichen ob der Abstand erhalten bleibt wenn ich die Vektoren durch die Abbildung schicke?

(5)+(6) Gram-Schmidt für die ONB und das orth. Komplement durch ein Gleichungssystem mit Skalarprodukt = 0 nehme ich mal an.

Jetzt wo ich das so schreibe sind das ganz schön viele (doofe) Fragen. Ich hoffe ihr verzeiht mir. Ich kann zwar viele der benötigten "Werkzeuge" schon anwenden allerdings fehlt mir der Überblick um zu erkennen welche ich brauche.


PS: Ich habe noch eine ganz kleine andere Frage, die nichts mit diesem Thema zu tun hat aber auch keinen eigenen Thread wert ist, vielleicht werfe ich die hier mal als "Bonusfrage" in den Raum: Wenn ich mit meinem Kochrezept eine JNF inklusive Transformationsmatrix aufstelle dann befinden sich die 1er auf der unteren Nebendiagonale, was müsste man den anders machen um diese auf der oberen Nebendiagonale zu bekommen? Die einzige Information die ich im Internet finde ist, dass es keinen Unterschied macht. Okay, ich würde es aber trotzdem gerne wissen.
Orly Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand da der mir helfen könnte? traurig

Also die Darstellungsmatrix der Bilinearform habe ich jetzt mal so formuliert wie ich das kenne, auch wenn ich das mit den Lamba und Mu immer noch verwirrt:

a b
b c
Orly Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dass die Det(A)= ac - b^2 dann positiv ist ergibt sich nach Voraussetzung.

Zu (3) bräuchte ich wirklich dringend einen Tipp, EW mit elementaren Methoden bestimmen sagt mir gar nichts und ich finde auch nichts im Internet.

Zu (4) Den euklidischen Raum beweisen: Ich muss zeigen dass A (1.) eine symm. Bilinearform (A ist symmetrisch weil A^T=A und Bilinearform ja ohnehin) und (2.) positiv definit ist. Positiv definit zeige ich dann mit dem Kriterium von Sylvester, beide Hauptminoren sind positive also folgt euklidischer Raum. Ja?

Zu (5) Arbeite ich hier mit allg. x1,x2 etc. Koordinaten für die v1,v2 Vektoren und wende dann Gram-Schmidt an oder gibt es einen Weg konkret die Vektoren v1,v2 aus der quadratischen Form zu ermitteln?
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