Reihen durch vollständige Induktion beweisen

08.10.2018, 19:09

DerMaschbaustudent

Reihen durch vollständige Induktion beweisen

Guten Tag,

ich muss mittles vollständiger Induktion beweisen, dass $\begin{eqnarray*} S=\sum\limits_{k=1}^{n} k² \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen gilt als $\begin{eqnarray*} S=\frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ .

Als erstes habe ich den Induktionanfang gemacht mit n=1:

$\begin{eqnarray*} S=\sum\limits_{k=1}^{n} 1²=\frac{1*(1+1)*(2*1+1)}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S=1=1 \end{eqnarray*}$

Danach habe ich den Induktionschritt für n+1 gemacht:

$\begin{eqnarray*} S=\sum\limits_{k=1}^{n+1} k² =\sum\limits_{k=1}^{n} k² + (n+1)² \end{eqnarray*}$

Jetzt weiss ich aber nicht, wie ich von
$\begin{eqnarray*} S=\sum\limits_{k=1}^{n} k² + (n+1)² \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} S=\frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

komme, was ich ja benötigte, um meine Annahme zu beweisen.

Über jegliche Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen,

DerMaschbaustudent

08.10.2018, 19:49

Helferlein

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Bei Induktionsbeweisen ist es immer eine sehr gute Idee die Induktionsannahme einzusetzen.

08.10.2018, 20:35

DerMaschbaustudent

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Guten Abend Helferlein.

Ich kann dir leider grade nicht ganz folgen.
Was ist für dich die eigentliche Annahme?
Und wie müsste ich den Beweis führen?

Mit freundlichen Grüßen,

DerMaschbaustudent

08.10.2018, 20:48

Mathema

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RE: Reihen durch vollständige Induktion beweisen

Zitat:

Original von DerMaschbaustudent

Jetzt weiss ich aber nicht, wie ich von
$\begin{eqnarray*} S=\sum\limits_{k=1}^{n} k² + (n+1)² \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} S=\frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

komme, was ich ja benötigte, um meine Annahme zu beweisen.

Das stimmt nicht. Du musst folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^2 =\textcolor{red}{\sum\limits_{k=1}^{n} k^2} + (n+1)^2=...=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Für die rote Summe darfst du nun deine Induktionsannahme $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} k^2=\textcolor{red}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} \end{eqnarray*}$ einsetzen.

08.10.2018, 20:52

DerMaschbaustudent

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Danke Mathema,

dann weiss ich ja wo mein Fehler ist.
Hatte den Zusammenhang ganz anders verstanden

09.10.2018, 08:36

klarsoweit

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RE: Reihen durch vollständige Induktion beweisen

Zitat:

Original von DerMaschbaustudent
ich muss mittles vollständiger Induktion beweisen, dass $\begin{eqnarray*} S=\sum\limits_{k=1}^{n} k² \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen gilt als $\begin{eqnarray*} S=\frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ .

Um Verwirrungen bezüglich der Verwendung der Variablen S zu vermeiden, solltest du auch besser $\begin{eqnarray*} S_n = \sum\limits_{k=1}^n k^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} S_n = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ schreiben.

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