Extrema unter Nebenbedingugnen |
09.10.2018, 10:00 | boris602 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Extrema unter Nebenbedingugnen Hierbei bekommt man 4 Bedingungen 1. 2. 3. 4. Löst man hier ganz einfach nach auf so bekommt als Minimum und einzige kritische Stellen, wie auch in der Lösung = für das Maximum und für das Minimum = . Ich wollte fragen, ob man hier im allgemeinem nicht weitere kritische Stellen berücksichtigen sollte, die dadurch entstehen, falls man die ersten 3 Gleichungen jeweils mit x,y und z multipliziert, so entstehen 6 weitere kritischen Stellen , wobei jeweils ein Element 1 oder -1 ist. Zwar handelt es sich hier offensichtlich nicht um Maxima oder Minima, nur würde mich interessieren wie man hier vorgehen sollte, da diese in der Lösung nicht berücksichtigt wurden. |
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09.10.2018, 10:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extrema unter Nebenbedingugnen Hm, vielleicht stehe ich auf dem Schlauch, aber im Moment sehe ich nicht, wie du da rechnest. |
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09.10.2018, 10:31 | boris602 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, wenn ich die erste Gleichung mit x multipliziere, die zweite mit y und die dritte mit z, so kann man doch für die erste Gleichung x=1 oder -1 einsetzen, denn ein entsprechendes findet sich ja direkt. Nun setzt man y und z =0 und dann sollten alle Gleichungen stimmen. Das gleiche macht man nun mit y und z und so bekommt man 6 weitere kritische Stellen. So zumindest mein Gedanke. |
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09.10.2018, 10:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun ja, implizit multiplizierst du also die Gleichungen 2 und 3 mit Null, was aber keine zulässige Äquivalenzumformung darstellt. Mit Blick auf die Ausgangsgleichungen siehst du sofort, daß x=0 oder y=0 oder z=0 keine Lösungen sein können. |
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09.10.2018, 12:07 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Einfacher ist es, mit Kugelkoordinaten zu rechnen: Die Nebenbedingung besagt, dass die gesuchten Extrema auf einer Kugeloberfläche mit dem Radius r=1 liegen. Benutze also folgende Kugelkoordinaten: Einsetzen in die Hauptbedingung liefert mit r=1 folgende neue Hauptbedingung: Die Nebenbedingung ist automatisch erfüllt. Die Ableitungen der neuen Hauptbedingung bezüglich und müssen verschwinden, was zu folgenden zwei Bedingungen führt: 1. Bedingung: 2. Bedingung: Die 1.Bedingung ist erfüllt, wenn entweder der Faktor oder der Faktor verschwindet ist. Wann tritt das ein (=Schulmathematik)? Wenn dort gleichzeitig die 2. Bedingung erfüllt ist, liegt ein kritischer Punkt vor. usw. |
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09.10.2018, 12:10 | boris602 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo klarsoweit, mir ist leider nicht so ganz klar worin das Problem bestehen würde, schließlich müssen die Gleichungen ja lediglich stimmen?. Das die Werte mit der Ausgangsgleichung nicht übereinstimmen , ist mir bewusst, nur welche Relevanz hat diese, wenn wir diese einfach ändern? Meine Verwirrung kommt viel mehr daher, da ich eine Aufgabe im Skript hatte(https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/...na2Skript16.pdf S 125) , wo die Ausgangsgleichung mit der Hauptbedingung f(x,y)=x^3-y^3 und der Nebenbedingung x^2+y^2=1 zu folgenden 3 Bedingungen geführt hat 1. 2. 3. Hier bekommt man analog (1/0) ,(-1,0),(0/1),(0,-1) und zwei weiter Punkte als kritische Punkte, mit dem Unterschied, dass die anderen zwei Punkte hier nicht, dass Maxium oder Minimum darstellen. |
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09.10.2018, 12:39 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei dieser anderen nun von dir genannten Funktion können die partiellen Ableitungen gleich Null werden für x=0 bzw. y=0, bei deiner Originalfunktion oben ist aber
und da geht das offenkundig nicht. Wozu also soll dieser Vergleich gut sein? |
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09.10.2018, 12:52 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit deinem (unzulässigem) Verfahren holst du dir Lösungen rein, die offensichtlich nicht stimmen. Beispiel: 4 = 2x Da gibt es nur eine Lösung, nämlich x=2 . Nun multiplizieren wir die Gleichung mit x. Das ergibt: 4x = 2x² Und schwupp hast du dir die falsche Lösung x=0 eingefangen. |
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09.10.2018, 13:10 | boris602 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo danke für die Antworten habe leider was verwechselt wie ich sehe , was mir jetzt auch langsam klar geworden ist. Ehos Ansatz ist auch interessant. Leider hat es nicht so ganz mit meinem Thema bezüglich der Lagrange Multiplikatoren zu tun. |
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