Extrema unter Nebenbedingugnen

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boris602 Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema unter Nebenbedingugnen
Hallo ich arbeite im Moment zum Thema Extrema unter Nebenbedingungen einige Aufgaben durch. Hierbei bin ich auf diese Seite https://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/i...ung/loesung812/ gestoßen. Hier wird als Hauptbedingung die Funktion genannt. Die Nebenbedingung ist .
Hierbei bekommt man 4 Bedingungen

1.
2.
3.
4.


Löst man hier ganz einfach nach auf so bekommt als Minimum und einzige kritische Stellen, wie auch in der Lösung = für das Maximum und für das Minimum


= .


Ich wollte fragen, ob man hier im allgemeinem nicht weitere kritische Stellen berücksichtigen sollte, die dadurch entstehen, falls man die ersten 3 Gleichungen jeweils mit x,y und z multipliziert, so entstehen 6 weitere kritischen Stellen , wobei jeweils ein Element 1 oder -1 ist. Zwar handelt es sich hier offensichtlich nicht um Maxima oder Minima, nur würde mich interessieren wie man hier vorgehen sollte, da diese in der Lösung nicht berücksichtigt wurden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema unter Nebenbedingugnen
Hm, vielleicht stehe ich auf dem Schlauch, aber im Moment sehe ich nicht, wie du da rechnest. verwirrt
boris602 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, wenn ich die erste Gleichung mit x multipliziere, die zweite mit y und die dritte mit z, so kann man doch für die erste Gleichung x=1 oder -1 einsetzen, denn ein entsprechendes findet sich ja direkt. Nun setzt man y und z =0 und dann sollten alle Gleichungen stimmen. Das gleiche macht man nun mit y und z und so bekommt man 6 weitere kritische Stellen. So zumindest mein Gedanke.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, implizit multiplizierst du also die Gleichungen 2 und 3 mit Null, was aber keine zulässige Äquivalenzumformung darstellt. geschockt
Mit Blick auf die Ausgangsgleichungen siehst du sofort, daß x=0 oder y=0 oder z=0 keine Lösungen sein können. smile
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Einfacher ist es, mit Kugelkoordinaten zu rechnen:
Die Nebenbedingung besagt, dass die gesuchten Extrema auf einer Kugeloberfläche mit dem Radius r=1 liegen. Benutze also folgende Kugelkoordinaten:





Einsetzen in die Hauptbedingung liefert mit r=1 folgende neue Hauptbedingung:



Die Nebenbedingung ist automatisch erfüllt. Die Ableitungen der neuen Hauptbedingung bezüglich und müssen verschwinden, was zu folgenden zwei Bedingungen führt:

1. Bedingung:
2. Bedingung:

Die 1.Bedingung ist erfüllt, wenn entweder der Faktor oder der Faktor verschwindet ist. Wann tritt das ein (=Schulmathematik)? Wenn dort gleichzeitig die 2. Bedingung erfüllt ist, liegt ein kritischer Punkt vor. usw.
boris602 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit, mir ist leider nicht so ganz klar worin das Problem bestehen würde, schließlich müssen die Gleichungen ja lediglich stimmen?. Das die Werte mit der Ausgangsgleichung nicht übereinstimmen , ist mir bewusst, nur welche Relevanz hat diese, wenn wir diese einfach ändern?


Meine Verwirrung kommt viel mehr daher, da ich eine Aufgabe im Skript hatte(https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/...na2Skript16.pdf
S 125) , wo die Ausgangsgleichung mit der Hauptbedingung f(x,y)=x^3-y^3 und der Nebenbedingung x^2+y^2=1 zu folgenden 3 Bedingungen geführt hat


1.
2.
3.


Hier bekommt man analog (1/0) ,(-1,0),(0/1),(0,-1) und zwei weiter Punkte als kritische Punkte, mit dem Unterschied, dass die anderen zwei Punkte hier nicht, dass Maxium oder Minimum darstellen.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dieser anderen nun von dir genannten Funktion können die partiellen Ableitungen gleich Null werden für x=0 bzw. y=0, bei deiner Originalfunktion oben ist aber

Zitat:
Original von boris602
1.
2.
3.

und da geht das offenkundig nicht. Wozu also soll dieser Vergleich gut sein? unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von boris602
Hallo klarsoweit, mir ist leider nicht so ganz klar worin das Problem bestehen würde, schließlich müssen die Gleichungen ja lediglich stimmen?. Das die Werte mit der Ausgangsgleichung nicht übereinstimmen , ist mir bewusst, nur welche Relevanz hat diese, wenn wir diese einfach ändern?

Mit deinem (unzulässigem) Verfahren holst du dir Lösungen rein, die offensichtlich nicht stimmen. Beispiel:
4 = 2x
Da gibt es nur eine Lösung, nämlich x=2 . Nun multiplizieren wir die Gleichung mit x. Das ergibt:
4x = 2x²
Und schwupp hast du dir die falsche Lösung x=0 eingefangen. smile
boris602 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo danke für die Antworten habe leider was verwechselt wie ich sehe , was mir jetzt auch langsam klar geworden ist.
Ehos Ansatz ist auch interessant. Leider hat es nicht so ganz mit meinem Thema bezüglich der Lagrange Multiplikatoren zu tun.
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