Ringhomomorphismus + injektiv?

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Gowri Auf diesen Beitrag antworten »
Ringhomomorphismus + injektiv?
Meine Frage:
Die Frage lautet folgendermassen: (Siehe Anhang)


Meine Ideen:
Meine Idee war zu zeigen:
Sei

Dann gilt:
1.)
2.)

Was ich herausgefunden habe ist:
Dass 2.) nicht gilt. Ist dies schon ein Grund genug um zu sagen, dass der Ringhom. nicht injektiv ist? und wenn nicht, welche Bedingungen muss ich durchgehen um zu zeigen, dass diese Funktion ein injektiver Ringhom ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso gilt 2.) nicht? Bist du sicher? Bitte vorrechnen. (Auf der Rückseite eines kleinen Kassenzettels habe ich 2. verifiziert.)
Injektiv ist trivial.
Gowri Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht! Ich habe einen Denkfehler gemacht, beide Bedingungen werden erfüllt. Zusätzlich zur Abgeschlossenheit bezgl. Addition und Multiplikation sollte man doch noch zeigen, dass im Kern nur das Nullelement ist, nicht?

Wie kann ich das zeigen, ohne dass ich wie im Linearen Algebra die Abbildungsmatrix gleich null setzen und diese dann auflösen muss, um meinen Kern herauszufinden?
Gibt es einen einfacheren Weg?

Ich habe als Tipp bekommen, dass ich es mit der Umkehrfunktion meiner Funktion zeigen kann, dass im Kern nur das Nullelement liegt, aber ich verstehe den Zusammenhang nicht ganz.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei verschiedene Urbilder enthalten verschiedene ganze Zahlen oder . Das gilt offensichtlich auch für die Bildmatrizen in der ersten Spalte. Für verschiedene Urbilder sind die Bilder verschieden, also ist der Homomorphismus definitionsgemäß injektiv.
Mit der Betrachtung des Kerns geht es natürlich auch. Für die Nullmatrix ist insbesondere , also das Urbild das einzige Element im Kern.
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