Beweisaufgabe zu Eigenwerten

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11.10.2018, 21:35	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisaufgabe zu Eigenwerten Hallo zusammen, ich bräuchte mal ein bisschen Hilfestellung bei folgender Aufgabe : Sei V ein K-Vektorraum und $\begin{eqnarray} f \in End(V) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Hat $\begin{eqnarray} f^2+f \end{eqnarray}$ den Eigenwert -1, so hat $\begin{eqnarray} f^3 \end{eqnarray}$ den Eigenwert 1. Ich schaffe es leider nicht auf den Trick hinter der Aufgabe zu kommen, das einzige , was ich aus der Voraussetzung ziehen kann ist: $\begin{eqnarray} \exists v \in V\setminus\{0_v\} : f^2(v)+f(v)=(-1)v=-v \end{eqnarray}$ Habe versucht den Term dann umzustellen, aber das hilft mir nicht. LG Snexx
11.10.2018, 22:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was liegt näher als f auf diese Gleichung los zu lassen?
11.10.2018, 23:00	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte mir gedacht mit f zu multiplizieren , damit man f^3 erhält, jedoch führt dieser Schritt doch zu nichts oder bin ich hier gerade blind
12.10.2018, 08:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f^3(v)=-f^2 (v) - f(v) =-(f^2 (v) +f(v)) \end{eqnarray}$ ist nicht nichts sondern genau das was du brauchst. Hier wird nicht mit f multipliziert sondern f auf die beiden Seiten der Gleichung angewendet und die Linearitaet von f benutzt.
12.10.2018, 10:13	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok , da war ich wohl doch nicht ganz so falsch , ich kann auch alles aus deiner Nachricht nachvollziehen es hapert nur an der ersten Gleichung: Warum ist $\begin{eqnarray} f^3(v)=-f^2(v)-f(v) \end{eqnarray}$ ? Ich sehe nämlich auch nicht inwiefern man f auf beide Seiten angewendet hat :/ Vielleicht nochmal als Nachfrage um Missverständnis auszuschließen : $\begin{eqnarray} f^3(x)= f(x)\cdot f(x) \cdot f(x) \end{eqnarray}$
12.10.2018, 10:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Produkte und Potenzen von Funktionen sind keine (punktweisen) Produkte sondern Kompositionen (d.h. Hintereinanderausführungen): $\begin{eqnarray} gf(x)=g(f(x)),f^3(x)=f(f(f(x))) \end{eqnarray}$ . Multiplikation macht keinen Sinn, weil man in Vektorräumen nicht multiplizieren kann. Lineare Abbildungen können durch Matrizen dargestellt werden, und die Matrixmultiplikation entspricht der Komposition linearer Abbildungen. Das wird hier aber nicht benötigt, es gibt keinen Grund mit Matrizen zu argumentieren, wenn es mit linearen Abbildungen viel einfacher geht.
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12.10.2018, 10:44	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann war das der Grund des Unverständnisses , ich hatte in Analysis halt immer die Notation, dass $\begin{eqnarray} sin^2(x)= (sin(x))^2 \end{eqnarray}$
12.10.2018, 10:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Analysis ist das ja auch sinnvoll, denn reelle Zahlen kann man bekanntlich miteinander multiplizieren. In der Analysis kommt die Multiplikation von Funktionen öfter vor als die Komposition von Funktionen. In der linearen Algebra kann die Multiplikation von Funktionen nicht vorkommen, deshalb bezeichnet das Produkt immer die Komposition. In der Analysis spricht man auch selten über lineare Abbildungen, wenn solche auftreten, dann nennt man sie Operatoren, z.B. Differentialoperatoren in der Funktionalanalysis.
14.10.2018, 01:19	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok gut zu wissen. Dann nochmal zur Voraussetzung: $\begin{eqnarray} f^2(v)+f(v) = -v <br /> \Leftrightarrow f^2(v)= -v -f(v)<br /> \Leftrightarrow f^3(v)= f(-f(v)-v)<br /> \Leftrightarrow f^3(v)= -f^2(v)-f(v)<br /> \Leftrightarrow f^3(v) = - (f^2(v) + f(v))= -(-v)=v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 1 \end{eqnarray}$ EW von $\begin{eqnarray} f^3 \end{eqnarray}$ Die Umformung sind richtig, da f linear ist. Beweis gelungen ?
14.10.2018, 10:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist leider falsch. Für jeden Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} id(v)=v\;\forall v\in V \end{eqnarray}$ und wegen $\begin{eqnarray} id^3=id \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} id^3(v)=v\;\forall v\in V \end{eqnarray}$ , aber es ist $\begin{eqnarray} id^2(v)+id(v)=2v\ne -v \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} char(K)\ne 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v\ne 0 \end{eqnarray}$ . Selbst wenn man die Voraussetzung über $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ benutzt, sehe ich nicht, wie man von der 3. zur 2. Zeile kommen soll falls $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht invertierbar ist. Tipp: Schreibe niemals Äquivalenz $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ , wenn du lediglich Implikation $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ benötigst und auch nicht mehr beweisen kannst. Wenn möglich schreibe ich lieber Ketten von Gleichungen als Ketten von Implikationen, das könnte in diesem Beispiel so aussehen: $\begin{eqnarray} f^2(v)+f(v)=-v\Rightarrow f^2(v)=-f(v)-v\Rightarrow f^3(v)=f(-f(v)-v)=-f^2(v)-f(v)=-(f^2(v)+f(v))=-(-v)=v \end{eqnarray}$ So wird die Voraussetzung über $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und die Linearität von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ verwendet, und es wird nichts falsches behauptet.
14.10.2018, 14:26	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Ersetze ich also alle Äquivalenzen durch Implikationen ist alles richtig ?
14.10.2018, 18:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bei Beweisen ist weniger mehr.

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