Erwartungswert Zufallsvektor

12.10.2018, 12:50	redshark	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Zufallsvektor Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} (g_i)_1^n \end{eqnarray}$ unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \mathbb{E} \left( \sum_{i=1}^n \lvert g_i \rvert^2 \right)^{\frac{1}{2}} \geq \left( \sum_{i=1}^n (\mathbb{E}\lvert g_i \rvert)^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Diese Abschätzung taucht ohne weitere Begründung in einem Beweis auf. Ich kann sie nicht einsehen. Ich habe es schon mit Hölder-Ungleichung versucht, aber da komme ich nur auf $\begin{eqnarray} \mathbb{E} \left( \sum_{i=1}^n \lvert g_i \rvert^2 \right)^{\frac{1}{2}}\leq \left( \sum_{i=1}^n \mathbb{E} \lvert g_i \rvert^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ was mir ja nun gar nichts nutzt. Auch über die Definiton des Erwtungswertes oder Induktion komme ich nicht weiter. Kann mir jemand sagen, wie man darauf kommt? VG und vielen Dank!
12.10.2018, 14:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Gemäß AMQM gilt $\begin{eqnarray} E\left( \sum_{i=1}^n \|g_i\|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \geq E\left( \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \|g_i\| \right) \stackrel{!}{=} \sqrt{n} E\|g_1\| = \left( n (E\|g_1\|)^2 \right)^{\frac{1}{2}} \stackrel{!}{=} \left( \sum_{i=1}^n (E\|g_i\|)^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ , bei den beiden $\begin{eqnarray} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray}$ wird die identische Verteilung der $\begin{eqnarray} g_i \end{eqnarray}$ genutzt. Dass es sich dabei um die Standardnormalverteilung handelt, ist daher gar nicht wichtig - ebensowenig wird die Unabhängigkeit gebraucht.
12.10.2018, 17:17	redshark1	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Dank! So ist das klar. Viele Grüße

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »