Doppelte Summe mit Bruch

12.10.2018, 21:29	Vinicius7	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelte Summe mit Bruch Guten Abend, ich habe folgende Aufgabe: "Berechnen Sie die folgende Doppelsumme und geben Sie das Ergebnis soweit wie möglich vereinfacht an." $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=3}^{6} \frac{i^2+4}{k} \end{eqnarray}$ In der Vorlesung kamen Doppelsummen gar nicht vor, aber ich habe im Internet gelesen, dass man zuerst den unteren Wert der äußeren Summe in den Term der inneren Summe einsetzt, dann die innere Summe vom unteren bis zum oberen Wert laufen lässt, dann erhöht man den unteren Wert der äußeren Summe, setzt ihn ein usw. bis beide Summen einmal durchgelaufen sind. Bei mir sieht das so aus: $\begin{eqnarray} \frac{3^2+4}{1} + \frac{4^2+4}{1} + \frac{5^2+4}{1} + \frac{6^2+4}{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} + \frac{3^2+4}{2} + \frac{4^2+4}{2} + \frac{5^2+4}{2} + \frac{6^2+4}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} + \frac{3^2+4}{3} + \frac{4^2+4}{3} + \frac{5^2+4}{3} + \frac{6^2+4}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} + \frac{3^2+4}{4} + \frac{4^2+4}{4} + \frac{5^2+4}{4} + \frac{6^2+4}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 212,5 \end{eqnarray}$ Ist das Ergebnis richtig? Und gibt es eine Formel, mit der man so eine Doppelsumme einfach ausrechnen kann?
12.10.2018, 21:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip richtig. Man kann in diesem Beispiel auch zuerst die Zähler addieren und dann die Summe mit 1+1/2+1/3+1/4 multiplizieren. Es ist immer erlaubt die Reihenfolge zu ändern wenn es dadurch schneller oder einfacher geht. Nach meiner Methode habe ich im Kopf berechnet, dass dein Ergebnis richtig ist. Eine allgemeine Regel zur Berechnung von Mehrfachsummen gibt es nicht.
12.10.2018, 21:50	Vinicius7	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Eine andere Reihenfolge wäre vielleicht auch einfacher auszurechnen. Schade, dass es da keine allgemeine Formel gibt.
12.10.2018, 21:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann bei endlichen Mehrfachsummen die Summanden beliebig vertauschen. Das ist das beste was man sich wünschen kann. Später wirst du lernen, dass man nur absolut konvergente Reihen umordnen kann ("großer Umordnungssatz").
12.10.2018, 22:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Im vorliegenden Fall hat zum einen der Summand eine Produktstruktur $\begin{eqnarray} (i^2+4)\cdot \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ , und zum anderen hängen die Grenzen der inneren $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -Summe nicht vom äußeren Index $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ab. () Das ermöglicht die Faktorisierung $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^4 \sum_{i=3}^6 \frac{i^2+4}{k} = \left( \sum_{k=1}^4 \frac{1}{k}\right)\cdot \left( \sum_{i=3}^6 (i^2+4) \right) \end{eqnarray}$ mit den Teilergebnissen $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^4 \frac{1}{k} = \frac{25}{12} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{i=3}^6 (i^2+4) = 102 \end{eqnarray}$ . So ein "Glück" () hat man aber selten.
12.10.2018, 22:38	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppelte Summe mit Bruch In unangenehmeren Fällen, z. B. wenn die Laufindizes größere Spannweiten einnehmen, sollte man schon versuchen, so weit wie möglich zu vereinfachen. Hier geht das ganz gut: Man formt zunächst um zu $\begin{eqnarray} ... =\sum\limits_{k=1}^{4} \left[\frac{1}{k} \left(\sum\limits_{i=3}^{6} i^{2} +4\sum\limits_{i=3}^{6} 1 \right) \right] =\sum\limits_{k=1}^{4} \left(\frac{1}{k}\sum\limits_{i=3}^{6} i^{2} +\frac{16}{k} \right) \end{eqnarray}$ Für die innere Summe der Quadrate könnte man jetzt eine Formel heranziehen. Damit geht es weiter bis letztlich $\begin{eqnarray} ... = 102\sum\limits_{k=1}^{4} \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ Auch für die Partialsummen der harmonischen Reihe wird man notfalls fündig werden. Hatte schon dran gearbeitet, bevor HAL 9000 seinen Beitrag reinstellte, daher poste ich das jetzt noch nach.
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