Polynomfaktorisierung in GF19

13.10.2018, 17:27

notmyDay

Polynomfaktorisierung in GF19

Meine Frage:
Die Aufgabe ist x^5-1 über GF19 zu Faktorisieren, als Nullstelle finde ich direkt x=1, aber keine weiteren. Nach der Polynomdivision lade ich bei x^4+x^3+x^2+x+1 und hier finde ich keine weiteren Nullstellen. Wolframalpha zeigt aber als weitere Faktorisierung (x^2+5x+1)(x^2+15x+1) wie komme ich zu dieser Faktorisierung ?

Meine Ideen:
Bei x^4+x^2+1 würde ich z=x^2 und dann die pq Formel nehmen, aber bei dieser Form habe ich aktuell keine Idee

13.10.2018, 17:46

HAL 9000

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RE: Polynomfaktorisierung in GF19

Zitat:

Original von notmyDay
Nach der Polynomdivision lade ich bei x^4+x^3+x^2+x+1 und hier finde ich keine weiteren Nullstellen.

Richtig, damit bleibt nur noch die evtl. Möglichkeit der Faktorisierung in zwei quadratische Polynome übrig, d.h.

$\begin{eqnarray*} x^4+x^3+x^2+x+1 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd \end{eqnarray*}$ ,

man sucht also nach ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} a+c&=1\\ ac+b+d&=1\\ ad+bc&=1\\ bd&=1 \end{eqnarray*}$ ,

alles natürlich modulo 19 betrachtet. Jetzt kann man etwas probieren, z.B. kann man testen, ob das mit $\begin{eqnarray*} b=d=1 \end{eqnarray*}$ klappt, in dem Fall verbleiben für $\begin{eqnarray*} a,c \end{eqnarray*}$ die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} a+c&=1\\ ac&=-1 \end{eqnarray*}$

und damit dann $\begin{eqnarray*} a^2-a-1=0 \end{eqnarray*}$ . Eine Lösung modulo 19 wäre da z.B. a=5.

13.10.2018, 18:01

notmyDay

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RE: Polynomfaktorisierung in GF19
Super, vielen Dank HAL 9000 für die schnelle Antwort smile

da habe ich mich so auf Formeln oder Algorithmen versteift das ich garnicht auf die Idee kam das zu einem Gleichungssystem umzustellen. Da bin ich der erfolgreichen Klausur nächste Woche eine Ecke näher.

13.10.2018, 23:53

klauss

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RE: Polynomfaktorisierung in GF19

Zitat:

Original von HAL 9000
Richtig, damit bleibt nur noch die evtl. Möglichkeit der Faktorisierung in zwei quadratische Polynome übrig, d.h.

$\begin{eqnarray*} x^4+x^3+x^2+x+1 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd \end{eqnarray*}$ ,

Dieser Hinweis wäre zugleich der Schlüssel zur Beantwortung hiesiger Frage, die aber (leider) geschlossen wurde.
Die Lösung des Gleichungssystems
a = 1
b = -k
c = -1
d = -k + 1
liefert die dort angegebene Faktorisierung.

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