Eigenwert - Beweisaufgabe

14.10.2018, 01:27	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert - Beweisaufgabe Hallo zusammen, ich wollte fürs erste nur fragen, ob ich die Voraussetzung richtig deute: Sei V ein K-Vektorraum und f ein Endomorphismus ( $\begin{eqnarray} f \in End(V) \end{eqnarray}$ ) über V. Ich soll zeigen: Existiert ein $\begin{eqnarray} n>0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f^n= 0_{End(V)} \end{eqnarray}$ , so ist 0 der einzige Eigenwert von f. Zwei Fragen: 1. Meint $\begin{eqnarray} 0_{End(V)} \end{eqnarray}$ einfach den Nullvektor $\begin{eqnarray} 0_v \in V \end{eqnarray}$ ? 2. Meint $\begin{eqnarray} f^n=0_{End(V)} \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \forall v \in V : f^n(v)=0_v \end{eqnarray}$ Falls diese Punkte von mir richtig verstanden wurden: Ich würde jetzt denke einen Widerspruchsbeweis machen. Angenommen es existiert ein $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(v)=\lambda v , \lambda \in K\setminus\{0_K\} \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} f^2(v)=f(f(v))=f(\lambda v)=\lambda f(v) = \lambda^2v<br /> \end{eqnarray}$ Aber wie beende ich den Beweis ? Für ein $\begin{eqnarray} \lambda < \|1\| \end{eqnarray}$ würde es doch nämlich für eine n-fache Verkettung von f auch zum Nullvektor führen. LG Snexx
14.10.2018, 01:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Nein, sondern die Nullfunktion 2. Hier ist es richtig.

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