Satz von Bannach

14.10.2018, 12:11	PhysicinAction	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Bannach Servus, die letzte Aufgabe ich die ich noch zu lösen hätte hab ich euch an den Post als Bilddatei angehängt ich versuch mich parallel zu dem Post auch daran. Wäre cool wenn mir jemand noch helfen könnte mein Ergebnis zu prüfen. Danke schonmal
14.10.2018, 16:05	PhysicinAction	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hätte ich soweit. Kann mir jemand bei der kontraktion helfen? bzw. ist das überhaupt richtig was ich bis hierhin gemacht habe? $\begin{eqnarray} \frac{1}{8}(1-x)y - \frac{y^2}{4}-x=-\frac{7}{8} \rightarrow x= \frac{1}{8}(1-x)y-\frac{y^2}{4} + \frac{7}{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\frac{1}{8}(1-x)^2-1)y + \frac{xy}{4} = 0 \rightarrow y = \frac{1}{8}(1-x)^2y + \frac{xy}{4} \end{eqnarray}$ Also ist (x,y) Fixpunkt von: F: $\begin{eqnarray} R^2 \rightarrow R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x,y) \rightarrow (F_{1} (x,y);F_2 (x,y)) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F_1 (x,y) = x= \frac{1}{8}(1-x)y-\frac{y^2}{4} + \frac{7}{8} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_2 (x,y) = \frac{1}{8}(1-x)^2y + \frac{xy}{4} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} M := [\frac{1}{3};\frac{2}{3}] x [-1;1] \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \|F_1(x,y)\| = \frac{1}{8}(\frac{2}{3}) - \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{17}{24} < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|F_2(x,y)\| = \frac{1}{8}(\frac{2}{3})^2 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{36} < 1 \end{eqnarray}$ Beh.: $\begin{eqnarray} (M, \|\|\cdot\|\|_\inf) \end{eqnarray}$ vollständiger metr. Raum mit $\begin{eqnarray} d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \|\|(x_1,y_1) - (x_2,y_2)\|\|_{\inf} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} max{\|x_1 - x_2\| , \|y_1,y_2\|} \forall x_1,x_2 \in [\frac{1}{3};\frac{2}{3}] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \forall y_1,y_2 \in [-1;1] \end{eqnarray}$ Beweis: Sei $\begin{eqnarray} (x_n,y_n)_{n \in N} \end{eqnarray}$ Cauchy-Folge in $\begin{eqnarray} (M,\|\|\cdot\|\|_{\inf}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ existiert ein $\begin{eqnarray} N \in N \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \forall m,n \in N max{\|x_n-x_m\|,\|y_n-y_m\|} < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow (x_n)_{n \in N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x_n)_{n \in N} \end{eqnarray}$ sind Cauchy-Folgen in M $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ es existiert $\begin{eqnarray} (x,y) \in M: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = lim_{n \rightarrow inf} x_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = lim_{n \rightarrow inf} y_n \end{eqnarray}$ Da M offensichtlich vollständig: $\begin{eqnarray} \|\|(x,y)-(x_n,y_n)\|\|_\inf \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} max\|x_n-x_m\|,\|y_n-y_m\| \rightarrow_{n \rightarrow inf} 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow lim_{n \rightarrow inf} (x_n,y_n) = (x,y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (M, \|\|\cdot\|\|_{inf} \end{eqnarray}$

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