Binomialkoeffizienten Beweis

15.10.2018, 17:37

Snexx_Math

Binomialkoeffizienten Beweis

Hallo zusammen,

ich habe eine von mehreren Beweisaufgaben zum Binomialkoeffizienten bekommen, von denen ich alle bis auf eine erfolgreich beweisen konnte, jedoch bei folgender komme ich auch keine nützliche Idee.

Zu zeigen:
Für $\begin{eqnarray*} m,n,r \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} 0\leq r \leq m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r\leq n \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m+n \\ r \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=0}^{r} \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n \\ r-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hatte ein Induktion über r versucht, aber bin dann am Induktionsschritt kläglich gescheitert. Dann hatte ich einfaches Umformen versucht, aber auch dort ohne Erfolg. Ich bräuchte mal einen Stups in die richtige Richtung.

LG

Snexx_Math

15.10.2018, 18:16

HAL 9000

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Am reizvollsten ist sicher der kombinatorische Beweis:

$\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ weiße Kugeln numeriert von $\begin{eqnarray*} 1\ldots m \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ schwarze Kugeln numeriert $\begin{eqnarray*} 1\ldots n \end{eqnarray*}$ liegen in einer Urne, aus der $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ -mal ohne Zurücklegen gezogen wird...

15.10.2018, 20:53

Snexx_Math

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Ahhh, der Laufindex k realisiert somit alle Möglichkeiten verschieden viele Kugel von den schwarzen und weißen zu ziehen. Denn es gibt die Option keine Weiße zu ziehen aber dafür r von den n schwarzen oder aber 1 von den m weißen und r-1 von den n schwarzen und so weiter. Diese werden dann multipliziert da man dann jede Kombination der weißen Kugeln mit jeder Kombination von den schwarzen abdeckt. Letztendlich werden dann alle Optionen addiert unterschiedlich viele von den weißen oder schwarzen zu ziehen.

Richtig ?
Reicht die als Beweis ?
Oder muss ich mich von den Kugeln lösen und es anders formulieren ?

15.10.2018, 21:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Richtig ?
Reicht die als Beweis ?

Ja, für natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ reicht dieser kombinatorische Beweis vollkommen aus.

Interessanterweise gilt die Gleichung $\begin{eqnarray*} \binom{m+n}{r} = \sum_{k=0}^r \binom{m}{k}\binom{n}{r-k} \end{eqnarray*}$ auch für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ (ja sogar komplexe Zahlen), wenn man die erweiterte Definition des Binomialkoeffizienten

$\begin{eqnarray*} \binom{x}{k}:=\frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1} (x-j) \end{eqnarray*}$

heranzieht. Für diese erweiterte Fassung ist der kombinatorische Beweis natürlich nicht tauglich, da muss dann doch eine "arithmetische" Variante her. Augenzwinkern

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