Ein Beweis mit der eulerschen Zahl / Vergleichssatz

15.10.2018, 22:25

Bomby

Ein Beweis mit der eulerschen Zahl / Vergleichssatz

Meine Frage:
Guten Abend

Ich habe wieder bei einer weiteren Teilaufgabe Probleme und komme einfach nicht weiter.
Es geht hierbei um beide Teilaufgaben, wobei ich mich bei a) sicherer bin.

1a) Was ist bei Teilaufgabe a geneau mit dem Vergleichsatz gemeint? Geht es hierbei darum, dass die beiden verschiedenen Ausdrücke den selben Grenzwert haben, nämlich 1?

1b) Hier verstehe ich nicht wie ich das beweisen soll.

Grüsse

Bomby

Meine Ideen:
Wie schon erwähnt habe ich mir bei (a) einfach gedacht, dass der Vergleichssatz einen gleichen Grenzwert der beiden zu multiplizierenden Faktoren voraussetzt, was ja auch stimmt, nämlich 1.

Bei b habe ich versucht irgendwie e^(-x) mit 1/e^x zu ersetzen und was gleiches aus dem rechten Term zu basteln, aber wenn ja n gegen Unendlich geht, wird es ja zu 1 und das geht nicht auf.

16.10.2018, 14:36

Huggy

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RE: Ein Beweis mit der eulerschen Zahl / Vergleichssatz

Zitat:

Original von Bomby
1a) Was ist bei Teilaufgabe a geneau mit dem Vergleichsatz gemeint?

Darüber kann dir nur dein Skript Aufschluss geben.

Ich könne mir vorstellen, dass der gesuchte Beweis etwa so aussieht: Es sei

$\begin{eqnarray*} a_n=(1+\frac x n)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n=(1-\frac x n)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_n=a_nb_n=(1-\frac {x^2}{n^2})^n \end{eqnarray*}$

Bekannt sei

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n=e^x \end{eqnarray*}$

Es ist

$\begin{eqnarray*} c_n<1 \end{eqnarray*}$

und nach der Bernoullischen Ungleichung

$\begin{eqnarray*} c_n \geq 1-n \frac {x^2}{n^2}=1-\frac {x^2} n \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac {x^2} n \leq c_n<1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}c_n \end{eqnarray*}$ existiert mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}c_n=1 \end{eqnarray*}$

Dieser Schluss könnte mit dem angeführten Vergleichssatz gemeint sein. Da nun bei festem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für genügend große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} c_n>0 \end{eqnarray*}$ , kann man schließen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_n =\lim_{n \to \infty} \frac {c_n}{a_n} \end{eqnarray*}$ existiert mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_n=\frac {\lim_{n \to \infty} c_n}{\lim_{n \to \infty} a_n}=\frac 1 {e^x}=e^{-x} \end{eqnarray*}$

16.10.2018, 19:20

Bomby

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RE: Ein Beweis mit der eulerschen Zahl / Vergleichssatz
Hallo Huggy

Du liegst mit deiner Vorstellung absolut richtig ich habe gerade heute den Tipp bekommen es über die bernoulli Ungleichung zu lösen. Im Skript habe ich natürlich auch nachgeschaut und für den Vergleichssatz stand komischerweise nichts hilfreiches drin.

Ich habe es selbst nochmals probiert, jedoch ohne Erfolg. Könntest du mir sagen, wie du auf cn < 1 kommst?

Edit: und warum fällt bei $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ der exponent weg?

Grossen Dank nochmals für deine Hilfe :-)

Bomby

16.10.2018, 19:27

Huggy

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RE: Ein Beweis mit der eulerschen Zahl / Vergleichssatz

Zitat:

Original von Bomby
Ich habe es selbst nochmals probiert, jedoch ohne Erfolg. Könntest du mir sagen, wie du auf cn < 1 kommst?

Das ist doch offensichtlich:

$\begin{eqnarray*} c_n=a_nb_n=(1-\frac {x^2}{n^2})^n \end{eqnarray*}$

Man zieht von 1 etwas Positives ab.

16.10.2018, 19:29

Bomby

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RE: Ein Beweis mit der eulerschen Zahl / Vergleichssatz
Ah natürlich.. ich brauche wohl eine kleine Pause

16.10.2018, 19:52

Huggy

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RE: Ein Beweis mit der eulerschen Zahl / Vergleichssatz
Mir war noch ein Druckfehler aufgefallen. Ich hatte bei $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ die Potenzierung mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vergessen hinzuschreiben. Das habe ich jetzt oben editiert.

16.10.2018, 21:18

Bomby

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RE: Ein Beweis mit der eulerschen Zahl / Vergleichssatz
Habs gesehen Augenzwinkern

Danke und

Gute Nacht

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