Zwischenergebnis für Eulersche Identität

16.10.2018, 04:30	zahlenspieler5	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenergebnis für Eulersche Identität Hallo, ich möchte folgendes beweisen: Es sei $\begin{eqnarray} r \neq 0 \end{eqnarray}$ eine relle Zahl. Dann gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 +\frac{ir}{n}\right)^{n} =\cos(r) +i\cdot \sin(r) \end{eqnarray}$ Es wäre also zu zeigen: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \Re\left(\left(1 +\frac{ir}{n}\right)^{n}\right) =\cos(r) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \Im\left(\left(1 +\frac{ir}{n}\right)^{n}\right) =\sin{r} \end{eqnarray}$ Bis jetzt konnte ich lediglich zeigen: Ist $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ , dann existiert eine nat. Zahl $\begin{eqnarray} N_0 \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{r^{2k}\cdot (-1)^{k}}{(2k)!} -\Re\left(\left(1 +\frac{ir}{n}\right)^{n}\right) < \varepsilon/2 \end{eqnarray}$ für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} n \geq N_0 \end{eqnarray}$ . Damit ist aber noch nicht sicher, ob auch der Betrag der Differenz unterhalb der "Schranke" bleibt. Wenn ich das zeigen kann, bin ich mit dem 1. Teil so gut wie fertig.
16.10.2018, 15:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier habe ich den Beweis für allgemein komplexes $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ skizziert, der Beweis funktioniert natürlich auch für den Spezialfall $\begin{eqnarray} z=ir \end{eqnarray}$ . Hätte es auch dort zuende gebracht, aber der Fragesteller hatte wohl das Interesse verloren.

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