sin(x)=2

16.10.2018, 08:10

Dopap

sin(x)=2

irgendwo sah ich $\begin{eqnarray*} \sin(x)=2 \end{eqnarray*}$ ; zumindest sollte $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gelten.

Ist aber anscheinend nicht nur ein Zweizeiler... oder etwa doch?

16.10.2018, 08:56

HAL 9000

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Via $\begin{eqnarray*} \sinh(ix)=i\sin(x) = 2i \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \operatorname{arsinh}(z)=\ln(z+\sqrt{z^2+1}) \end{eqnarray*}$ kann man das auf die komplexe Logarithmusfunktion zurückführen. Natürlich gibt es wieder unendlich viele Lösungen auf Basis von $\begin{eqnarray*} \sin(z+2k\pi) =\sin(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(\pi-z)=\sin(z) \end{eqnarray*}$ , was auch für komplexe $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gilt. Sind auf diese Weise vermutlich mehr als zwei Zeilen. Augenzwinkern

EDIT: Ok, wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann sollten die Lösungen $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \pm i\ln(2+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ sein.

16.10.2018, 19:10

Dopap

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inzwischen durchgekämpft, zwischendurch eine quadratische Gleichung... und komme auf die Hauptwerte

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} - i\ln(2\pm \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ . ?

16.10.2018, 19:11

HAL 9000

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Ja, ist richtig, und stimmt ja mit meinem Wert oben überein - es ist ja $\begin{eqnarray*} \ln(2-\sqrt{3})=-\ln(2+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

16.10.2018, 20:09

Dopap

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wahrscheinlich ohne Nutzwert aber tricky!

$\begin{eqnarray*} \ln(2-\sqrt{3})= \ln (\frac {(2-\sqrt3)(2+\sqrt 3)}{2+\sqrt 3})= \ln(\frac {1}{2+\sqrt 3})=0-\ln(2+\sqrt 3) \end{eqnarray*}$ .

17.10.2018, 09:14

HAL 9000

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Da muss ich dir widersprechen: Ich sehe da schon einen Nutzwert. Augenzwinkern

Man kann es als Spezialfall des für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ gültigen

$\begin{eqnarray*} \ln(x-\sqrt{x^2-1}) = -\ln(x+\sqrt{x^2-1}) = -\operatorname{arcosh}(x) \end{eqnarray*}$

sehen.

17.10.2018, 14:23

Dopap

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verstehe, nur hatte ich während der ganzen Rechnung nirgendwo etwas Hyperbolisches. Augenzwinkern

17.10.2018, 14:32

HAL 9000

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Wenn man das ganze zusammenfasst zu

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=y \end{eqnarray*}$ hat für reelle $\begin{eqnarray*} y>1 \end{eqnarray*}$ die komplexen Lösungen $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \pm i\operatorname{arcosh}(y) \end{eqnarray*}$

dann hat es zumindest für mich schon was Hyperbolisches. Augenzwinkern

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