Taylor-Polynom

17.10.2018, 10:15

Mimi123

Taylor-Polynom

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine Aufgabe gemacht bin mir aber nicht sicher, ob das stimmt.
Aufgabe: Berechne $\begin{eqnarray*} log(1,5) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe des Taylor-Polynoms vierter Ordnung zur Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=log(1+x) \end{eqnarray*}$ mit dem Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ . Geben Sie den absoluten Fehler an.

Meine Ideen:
Als erstes habe ich die Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f(x)=log(1+x) \end{eqnarray*}$ berechnet und daraufhin $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f(x)=log(1+x)=>f(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{1+x}=>f'(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}=>f''(0)=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{2}{(1+x)^{3}}0>f'''(0)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''''(x)=\frac{-6}{(1+x)^{4}}=>f(0)=-6 \end{eqnarray*}$
Insgesamt gilt:
$\begin{eqnarray*} T_{4}(x)=0+\frac{1}{1!}x-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{2}{3!}x_{3}-\frac{6}{4!} x^{4} => T_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2} +x \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} log(1,5) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} x=1,5 \end{eqnarray*}$ setzen wir in $\begin{eqnarray*} T_{4}(x)=\frac{15}{64}=0,234375 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f(1,5)=log(1+1,5)=0,3979400087 \end{eqnarray*}$
Absolute Fehler:
$\begin{eqnarray*} |x-\tilde{x}|0,3979400087-0,234375|=0,1635650087 \end{eqnarray*}$
stimmt das oder hab ich da was falsch verstanden?

17.10.2018, 10:22

HAL 9000

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RE: Taylor-Polynom

Zitat:

Original von Mimi123
Da $\begin{eqnarray*} log(1,5) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} x=1,5 \end{eqnarray*}$

Nein, es ist mit $\begin{eqnarray*} x=0.5 \end{eqnarray*}$ zu rechnen - erinnere dich: $\begin{eqnarray*} T_4(x) \end{eqnarray*}$ ist das Taylorpolynom zur Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \ln({\color{red}1+}x) \end{eqnarray*}$ .

Im übrigen besitzt die zughörige Taylorreihe den Konvergenzradius 1, es ist also von höchst zweifelhaftem Approximationsnutzen, die Taylorformel für $\begin{eqnarray*} x=1.5 \end{eqnarray*}$ anwenden zu wollen.

17.10.2018, 10:43

Mimi123

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ah hab mir schon gedacht das da irgendetwas falsch sein muss, wusst nur nicht was.
Also haben wir:
$\begin{eqnarray*} |T_{4}(0,5)=0,40104167 \end{eqnarray*}$ das ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} log(1,5)=0,1760912591 \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \end{eqnarray*}$ .
Absoluter Fehler:
$\begin{eqnarray*} |x-\tilde{x}|=|0,1760912591-0,40104167|=0,2249504109 \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt richtig?

17.10.2018, 13:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mimi123
$\begin{eqnarray*} log(1,5)=0,1760912591 \end{eqnarray*}$

Der nächste Irrtum: $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ steht hier für den natürlichen Logarithmus $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ (das ist auch der Grund, warum ich niemals das bloße Symbol $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ verwende, sondern immer nur $\begin{eqnarray*} \ln,\lg \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \log_b \end{eqnarray*}$ ).

Und da ist $\begin{eqnarray*} f(0.5) = \ln(1.5)\approx 0.4054651 \end{eqnarray*}$ .

17.10.2018, 13:25

Dopap

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einen Funktionswert mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu bezeichnen ist schon ziemlich fahrlässig. Vor allem wenn man kurz vorher $\begin{eqnarray*} x:=0.5 \end{eqnarray*}$ festgelegt hat.

Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} |T_4(0.5)-\ln(1.5)|= 0.0044 \end{eqnarray*}$

Und warum rechnest du mit dem Zehnerlogarithmus meinst aber den natürlichen Logarithmus?

17.10.2018, 14:43

Mimi123

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das liegt daran das mein Prof gesagt hat wenn er log schreibt meint er ln. Das verwirrt mich, deshalb hab ich wohl im Taschenrechner statt ln, log gedruckt.

17.10.2018, 17:48

HAL 9000

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Naja, TR-Hersteller haben sich gewisse Bezeichnungssünden angewöhnt, die man ihnen wohl ganz schlecht wieder austreiben kann. Dazu gehören

$\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \lg \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin^{-1} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \cos^{-1} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \arccos \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \tan^{-1} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ .

In der Welt der Programmiersprachen bedeutet $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ hingegen fast immer $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ , d.h., wie bei deinem Prof. Das kann dann für den Anfänger schon verwirrend sein.

17.10.2018, 19:06

Dopap

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bei meinem TR von hp sind alle Tastenfunktionen auch in den zur Zeit 865 programmierbaren Befehlen enthalten. Und da ist $\begin{eqnarray*} SIN^{-1} \end{eqnarray*}$ schon mal schlecht.

deshalb die Schreibfiguren SIN , ASIN , SINH , ASINH ... und über der Taste SIN steht natürlich ASIN.
Das ist akzeptabel, da auch noch längere Befehle wie
ASIN2T: replaces asin(x) with atan(x/ $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^2}) \end{eqnarray*}$ zur Verfügung stehen. Augenzwinkern

Nur: LOG meint lg, steht aber direkt neben $\begin{eqnarray*} 10^x \end{eqnarray*}$

23.10.2018, 14:02

Mimi123

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VIelen Dank. Nun hat er eine Übung hochgeladen in dem er möchte das wir den Fehler abschätzen den wir hierbei machen. Also gleiche Aufgabe nur wir sollen den Fehlerabschätzen den wir hierbei machen.
Ich dachte mir ich mache das Mit der Restgliedabschätzung.
Ich hab die fünfte Ableitung berechnen:
[l $\begin{eqnarray*} |R_{4}(f,0,x)|=\frac{f^{5} (\xi)}{5!}\left(x-x_{0} \right)^{5}=\max_{\xi\in \left[0;x\right]}\max_{x\in \left[0;0,5\right] } \frac{1}{5|1+\xi |^{5} }|x|^{5} \end{eqnarray*}$ atex]f^4(x)=\frac{24}{\left(1+x\right) ^{5} } [/latex]
Ich bin mir hier nicht genau sicher ob ich einfach x=0,5 einsetzen soll weil im Endeffekt ist ja x schon gegeben und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ wäre dann auch 0,5 oder ob das anders funktioniert. verwirrt

23.10.2018, 14:07

Mimi123

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Sorry für den vorrigen post.
Ich dachte mir ich mache das mit der Restgliedabschätzung.
Ich hab die fünfte Ableitung berechnen:
$\begin{eqnarray*} f^4(x)=\frac{24}{\left(1+x\right) ^{5} } \end{eqnarray*}$
Hab das dann aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} |R_{4}(f,0,x)|=\frac{f^{5} (\xi)}{5!}\left(x-x_{0} \right)^{5}=\max_{\xi\in \left[0;x\right]}\max_{x\in \left[0;0,5\right] } \frac{1}{5|1+\xi |^{5} }|x|^{5} \end{eqnarray*}$
Ich bin mir hier nicht genau sicher, ob ich einfach x=0,5 einsetzen soll,weil im Endeffekt ist ja x schon gegeben und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ wäre dann auch 0,5 oder ob das anders funktioniert. verwirrt

[/quote]

23.10.2018, 14:57

MasterWizz

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Da er den x-Wert von 0,5 schon gegeben hat, einfach einsetzen. Da aber auch der Fehler bei x=0,5 maximal wird, stimmt das in jedem Fall. Danach überlegen für welches $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ der Fehler maximal wird. Da $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ im Nenner steht und ein Bruch maximal groß wird, wenn der Nenner minimal klein ist, empfehle ich $\begin{eqnarray*} \xi=0 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

23.10.2018, 15:33

Mimi123

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Ich verstehe. Vielen Dank. smile

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