Poissonverteilte Nulldurchgänge einer Signalquelle

18.10.2018, 10:08	dkdomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonverteilte Nulldurchgänge einer Signalquelle Meine Frage: Hallo zusammen, ich beschäftige mich momentan mit digitaler Signalverarbeitung und bin in unserem Skript an folgender Aufgabe hängen geblieben: Gegeben ist eine Signalquelle, welche ein Rechtecksignal mit poissonverteilten Nulldurchgängen liefert. Das Rechtecksignal besitzt eine konstante Amplitude A (-A). Der Mittelwert der Nulldurchgänge je Zeiteinheit sei gleich $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Gezählt werden sollen die Nulldurchgänge im Zeitraum t. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Nulldurchgänge 1. 0 ist 2. gerade ist 3. ungerade ist. Meine Ideen: Eingesetzt in die Wahrscheinlichkeitsverteilung komme ich auf: Zu 1.: $\begin{eqnarray} P(x = 0) = \frac{\lambda t^{0}}{0!} e^{\lambda t} = e^{\lambda t} \end{eqnarray}$ Zu 2.: $\begin{eqnarray} P(x = 2k) = \frac{\lambda t^{2k} }{(2k)!} e^{\lambda t} \end{eqnarray}$ Zu 3.: $\begin{eqnarray} 1 - P(x = 2k) = 1 - \frac{\lambda t^{2k} }{(2k)!} e^{\lambda t} \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? Kann ich hier noch weiter vereinfachen?
18.10.2018, 10:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilte Nulldurchgänge einer Signalquelle Mehrere Fehler: a) $\begin{eqnarray} e^{\lambda t} \end{eqnarray}$ ist durchgängig durch $\begin{eqnarray} e^{-\lambda t} \end{eqnarray}$ zu ersetzen. b) Es wird immer das Produkt $\begin{eqnarray} \lambda t \end{eqnarray}$ zur Potenz erhoben. Dementsprechend sind Klammern zu setzen, also $\begin{eqnarray} (\lambda t)^{2k} \end{eqnarray}$ usw. Außerdem ist bei 2. und in der Folge auch bei 3. über $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ zu summieren, d.h., es ist $\begin{eqnarray} P(X~\mbox{gerade}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{2k}}{(2k)!} e^{-\lambda t} \end{eqnarray}$ Das lässt sich übrigens noch vereinfachen zu $\begin{eqnarray} \cosh(\lambda t)e^{-\lambda t} = \frac{1}{2}\left(1+ e^{-2\lambda t}\right) \end{eqnarray}$ . c) folgt dann aus $\begin{eqnarray} P(X~\mbox{ungerade}) = 1 - P(X~\mbox{gerade}) \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »