Dgl aufstellen

18.10.2018, 13:48

georg2000

Dgl aufstellen

Hallo die Aufgabe ist im Bild ;

ich weiß leider nur die Tangente ist eine gerade mit $\begin{eqnarray*} y=y'x+d \end{eqnarray*}$
sie muss durch P gehen und mit sich mit der X-Achse Schneiden in einem Punkt Q .
und es soll dann gelten : $\begin{eqnarray*} ||P||=||P-Q|| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P=(x,y),Q=(x_1,0] \end{eqnarray*}$

wenn die Tangente durch Q geht , setze ich Q in ihr ein und bekomme : $\begin{eqnarray*} x_1=-d/y' \end{eqnarray*}$

obere Bedingung bringt mir : $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-0]^2} \end{eqnarray*}$

das ergibt dann ohne Wurzeln : $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=(x+d/y')^2+y^2 \end{eqnarray*}$
vereinfachen liefert mir :
$\begin{eqnarray*} x^2=x^2+2xd/y'+d^2/y'^2 \end{eqnarray*}$

dh dann $\begin{eqnarray*} -2xy'=d \end{eqnarray*}$

stimmt dieser Ansatz? oder wie würdet ihr die DGl aufstellen?

18.10.2018, 14:13

HAL 9000

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Aufpassen, dass es zu keinem Bezeichnungswirrwarr kommt: Die Mehrfachbedeutung von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ in deiner Darstellung scheint bei dir leider doch schon dazu zu führen...

Deswegen nenne ich die Punkte auf der Tangente besser $\begin{eqnarray*} (\tilde{x},\tilde{y}) \end{eqnarray*}$ , in Abgrenzung zu dem Punkt $\begin{eqnarray*} P=(x,y) \end{eqnarray*}$ :

Tangentengleichung ist dann $\begin{eqnarray*} \tilde{y} = y'\cdot (\tilde{x}-x) + y \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} \tilde{x}=x_1 \end{eqnarray*}$ möge diese Tangente die x-Achse schneiden (d.h. dort ist $\begin{eqnarray*} \tilde{y} = 0 \end{eqnarray*}$ ), es ist somit $\begin{eqnarray*} x_1-x = -\frac{y}{y'} \end{eqnarray*}$ und damit dann $\begin{eqnarray*} \|P-Q\|^2 = (x-x_1)^2 + (y-0)^2 = \frac{y^2}{y'^2}+y^2 \end{eqnarray*}$ .

Andererseits ist $\begin{eqnarray*} \|P\|^2 = x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ , die Gleichsetzung liefert $\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{y'^2} = x^2 \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} y'^2=\frac{y^2}{x^2} \end{eqnarray*}$ . Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} y'=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y'=-\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ .

18.10.2018, 14:39

Dopap

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Ich habe früher immer empfohlen Formvariable als Abgrenzung zu den üblichen Laufvariablen wie x zu verwenden:
Also $\begin{eqnarray*} P(u,v)=P(u,y(u)) \end{eqnarray*}$ und dann auch noch $\begin{eqnarray*} Q(x_Q,0) \end{eqnarray*}$

Das hat sich eigentlich immer bewährt.

18.10.2018, 15:02

georg2000

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Hallo ,
die Lösungen für $\begin{eqnarray*} y'=+/- y/x \end{eqnarray*}$ sind dann die Geraden $\begin{eqnarray*} y=+/- cx \end{eqnarray*}$ .
Danke für die Herleitung die verstehe ich , muss also auf meine Notation mit x,y achten .

18.10.2018, 15:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von georg2000
die Lösungen für $\begin{eqnarray*} y'=+/- y/x \end{eqnarray*}$ sind dann die Geraden $\begin{eqnarray*} y=+/- cx \end{eqnarray*}$ .

Nein:

Die Lösungen für $\begin{eqnarray*} y'=y/x \end{eqnarray*}$ sind die Geraden $\begin{eqnarray*} y=+/- cx \end{eqnarray*}$ .

Die Lösungen für $\begin{eqnarray*} y'=-y/x \end{eqnarray*}$ sehen anders aus.

Nicht so fahrig agieren, sondern gründlich. unglücklich

18.10.2018, 15:29

georg2000

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$\begin{eqnarray*} -dy/y=dx/x \end{eqnarray*}$
liefert mir $\begin{eqnarray*} -ln|y|=ln|1/y|=ln|x|+ln|c|=ln|cx| \end{eqnarray*}$
dh $\begin{eqnarray*} 1/y=cx \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} y=1/x *C \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} C=1/c \end{eqnarray*}$

für x ungleich 0.

so?

18.10.2018, 15:35

HAL 9000

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Richtig, es gibt also die Lösungen $\begin{eqnarray*} y=cx \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y=\frac{c}{x} \end{eqnarray*}$ , in letzterem Fall für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Bei beiden muss man allerdings $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$ dazusagen, denn die Nullfunktion $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt nicht die Eigenschaft, dass die Tangente in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ mit der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse nur genau einen Schnittpunkt hat, denn diese Tangente IST dann die ganze $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse. Augenzwinkern

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