Determinante Ungleichung

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Dmpartyrock Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante Ungleichung
Meine Frage:
Hallo,
Wäre cool wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.Die Vorlesung ist einfach mal komplett useless.Hab es mal mit dem Laplace?schen Entwicklungssatz versucht und bin da nicht sehr weit gekommen.

Meine Ideen:
Hab es mal mit dem Laplace?schen Entwicklungssatz versucht und bin da nicht sehr weit gekommen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Gegenbeispiel zu (i) im Fall zu finden ist trival, z.B.

Auf der Hauptdiagonale alles Einsen, dann irgendein Nichthauptdiagonalenelement gleich , der Rest Null.

(ii) dürfte stimmen, kann man durch großzügige Abschätzungen mit der Dreiecksungleichung angewandt auf die Determinantendefinition nachweisen.
Dmpartyrock Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar danke schon mal.Welche Determinantendefinition meinst du denn bei der (ii)?

Also ich kenne die Definitionen nach Leibniz und nach Laplace,da wir uns ja im Raum der nxn Matrizen befinden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte die Leibniz-Formel.

Der Betrag der dort auftretende Summe wird einfach durch die Summe aller Beträge nach oben abgeschätzt (das meine ich mit "Dreiecksungleichung") unter Beachtung dessen, dass der Betrag des Signum-Faktors ja immer gleich 1 ist.
Dmpartyrock Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich soweit verstanden,allerdings verstehe ich die Leibnizformel nicht und ich verstehe auch nicht wie das Produktzeochen in der leibnizformel beim abschätzen verschwindet.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dmpartyrock
wie das Produktzeochen in der leibnizformel beim abschätzen verschwindet.

Es geht in der Potenz auf. Eigentlich eine geradlinige und naheliegende Abschätzung, aber wenn du nicht mal probierst, es aufzuschreiben...
 
 
Dmpartyrock Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mich mal ans abschätzen versucht und ich hoffe,das ist so richtig. Big Laugh
Allerdings habe ich immer noch keinen Schimmer wie es weiter geht mit der Potenz.

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Teil ist soweit Ok, dann wird's konfus. Deinen vorletzten Term verstehe ich beispielsweise überhaupt nicht:

Wie kannst du außen eine Summe über die Indizes haben, und dann innen nochmal ein Produkt über gleichnamige (!) Indizes ??? Die sind doch in dem Moment schon "verbraten", das macht also rein schreibtechnisch schon überhaupt keinen Sinn. unglücklich


Bei mir geht die Abschätzung so weiter: beinhaltet alle bijektiven Abbildungen von auf sich selbst. Bezeichnen wir mit alle Abbildungen von auf sich selbst, dann ist und folglich gilt



Die Gleichheit solltest du dir nochmal genau klarmachen, wenn's sein muss an den kleinen Beispielen bzw. . Die letzte Abschätzung basiert auf gültig für alle , was einfach daraus folgt, dass die Summe links dem Summanden rechts entspricht, und die Summe rechts ja darüber hinaus nur weitere nichtnegative Zahlen enthält.


P.S.: Eine Anmerkung zu den groben Dimensionen, in denen hier abgeschätzt wird:

Das erste schätzt Summanden gegen Summanden ab, das zweite dann vergrößert die (ausmultiplizierte) Summandenanzahl sogar auf . Kann man mit Fug und Recht als Holzhammermethode bezeichnen. smile
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