Bestimmung einer empirischen Verteilungsfunktion & Berechnen einer Durchfallsquote

20.10.2018, 16:55	Summit	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung einer empirischen Verteilungsfunktion & Berechnen einer Durchfallsquote Meine Frage: Hallo , ich habe zwei Aufgaben aus der angewandten Stochastik, bei denen ich mir in meiner Lösung nicht ganz sicher bin. Also ob meine Argumentation soweit schlüssig ist ;-). Hier kommt die Erste: 1. Es ist eine Messreihe $\begin{eqnarray} X = \left\{ x_1,\dots,x_n\right\} \end{eqnarray}$ und ihre empirische Verteilung $\begin{eqnarray} F_n^X(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\delta_{(-\inf,x]}(x_i) \end{eqnarray}$ . Eine weitere Messreihe $\begin{eqnarray} Y = \left\{ y_1,\dots,y_n\right\} \end{eqnarray}$ wird durch die lineare Transformation $\begin{eqnarray} y_i = ax_i+b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i=\left{1,\dots,n\Right},a,b\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ definiert. Bestimmt werden soll nun die empirische Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_n^Y von [latex]Y \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} F_n^X \end{eqnarray}$ bekannt ist. Die zweite Frage ist die Bestimmung einer Durchfallquote: 2. Bei einer Klausur im Jahre 2018 mit m Teilnehmern wurden durchschnittlich 92 Punkte erreicht. n der m Teilnehmer fielen durch und mussten die gleiche Klausur nochmal schreiben. Bei der Wiederholungsklausur (mit den n Teilnehmern) betrug der durchschnitt 70 Punkte. Wenn man die Klausuren aus dem ersten und zweiten Versuch zusammenlegt, dann liegt der Durchschnitt bei 86 Punkten. Wie hoch war die Durchfallquote bei der ersten Klausur Meine Ideen: Folgenden Ansatz habe ich für die erste Frage verwendet: Meine Überlegung war die Stichprobenelemente $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ durch den linearen Zusammenhang bezüglich $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ zu ersetzen und anschließend das Intervall zu verschieben. In diesem Fall komme ich auf folgende Lösung: $\begin{eqnarray} <br /> F_n^X(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\delta_{(-\inf,x]}(x_i)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\delta_{(-\inf,x]}\left(\frac{y_i-b}{a}\right)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\delta_{(-\inf,x]}\left(\frac{1}{a}y_i-\frac{b}{a}\right)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\delta_{(-\inf,x+\frac{b}{a}]}\left(\frac{1}{a}y_i\right)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\delta_{(-\inf,ax+b]}(y_i)<br /> \end{eqnarray}$ Damit würde ich dann $\begin{eqnarray} <br /> F_n^Y(y)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\delta_{(-\inf,y]}(y_i)<br /> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y=ax+b \end{eqnarray}$ erhalten. Schöner ist es wahrscheinlich eher in der Form $\begin{eqnarray} <br /> F_n^Y(y(x))= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\delta_{(-\inf,y(x)]}(y_i)<br /> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y(x):=ax+b \end{eqnarray}$ . Intuitiv würde ich sagen, dass die Lösung Sinn macht. Eigentlich verschiebt sich die Ursprungs Messreihe bezüglich der linearen Transformation nur. Trotzdem bin ich mir unsicher, ob dies die richtige Lösung ist oder vielleicht doch etwas anderes verlangt wird. Mein Lösungsansatz zur zweiten Frage: Meine Überlegung war auf das Verhältnis $\begin{eqnarray} \frac{n}{m} \end{eqnarray}$ zu kommen. Dies würde ja der Durchfallquote der ersten Klausur entsprechen. An der ersten Klausur haben m Studenten teilgenommen und an der zweiten Klausur n Studenten. Wenn ich die arithmetischen Mitteln der beiden untersuche, betrachte ich also n+m Studenten. Damit würde ich auf folgendes Ergebnis kommen: $\begin{eqnarray} <br /> 86 = \frac{92m+70n}{m+n}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> 86m+86n = 92m+70n<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> 16n = 6m<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \frac{n}{m} = \frac{6}{16}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \frac{n}{m} = 37,5%<br /> \end{eqnarray}$ Und damit würde ich auf die Durchfallquote kommen. Ist das von der Idee korrekt, oder habe ich etwas übersehen? Ich bedanke mich auf jeden Fall für jede Hilfe und jeden Rat :-). Viele Grüße

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