Beweis unendlich viele Primzahlen, Satz von Euklid

Neue Frage »

e^pi*i Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis unendlich viele Primzahlen, Satz von Euklid
Meine Frage:
Beweisen Sie durch Widerspruch die Aussage: "Es gibt unendlich viele Primzahlen".
Tipp: Betrachten Sie das Produkt aller Primzahlen plus 1.

Meine Ideen:
Beim Beweis des Widerspruchs gehe ich davon aus, dass die zu beweisende Aussage hier: "Es gibt unendlich viele Primzahlen" falsch ist bzw. ich verneine diese in die Aussage, dass es endlich viele Primzahlen gibt. Diese verneinte Aussage betrachte ich als wahr und führe diese zum Widerspruch, sodass ich indirekt beweise, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss.

Meine Idee:

Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Annahme: Es gibt endlich viele Primzahlen.

P= Primzahlen

zB. \left\{2,3,5,7,11,13,17..., pk\right\}

pk ist die höchste Primzahl aus all den gegebenen Menge an Primzahlen.

Nun konstruiere ich eine Zahl genannt m, die sich aus dem Produkt von all den endlichen Primzahlen + 1 zusammensetzt.

m= p1*p2*p3*p4....*pk+1

p sei eine Primzahl (Element einer Primzahl) und m ist teilbar durch das Produkt der Primzahl+1. p muss eine Zahl aus der gegebenen Menge an Primzahlen sein.

p/p1*p2*p3*p4....*pk+1 und p/p1*p2*p3*p4

Ist der Ansatz so richtig? Ich würde mit eurer Hilfe auf eine gemeinsame Lösung kommen wollen.
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Element einer Primzahl)

Was soll das ein "Element einer (Prim)Zahl" sein?. Eine Prim Zahl ist keine Menge, hat also keine Elemente.

Zitat:
das Produkt der Primzahl+1

Also ein Produkt mit einem Faktor?

Zitat:
p muss eine Zahl aus der gegebenen Menge an Primzahlen sein.

Nein. Kann es nicht. Das ist gerade der Punkt hier.
m ist gerade so gewählt, dass die
Zitat:
p_i
keine Teiler von m sind.

Zitat:
p/p1*p2*p3*p4....*pk+1 und p/p1*p2*p3*p4

Was sollen diese Brüche bedeuten?

Du hast dein m.
Keine der endlich vielen Primzahlen ist ein Teiler von m.
Also ist m selbr prim oder hat einen Primteiler der nicht in der endlichen Liste steht.
Damit ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme.
 
 
e^pi Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll das ein "Element einer (Prim)Zahl" sein?. Eine Prim Zahl ist keine Menge, hat also keine Elemente.
=> z.B. 2,3,5,7 aus allen pi, pi sind alle mögl. Primzahlen

"Also ein Produkt mit einem Faktor?" - Ja.

"m ist gerade so gewählt, dass die
p_i
keine Teiler von m sind."

und zwar eben durch den Faktor + 1 am Ende ?

=> beziehe mich auf: m= p1*p2*p3*p4....*pk +1

"Was sollen diese Brüche bedeuten?:
pi/p1*p2*p3*p4....*pk+1 und pi/p1*p2*p3*p4"

Gemäß vom Satz des kleinsten Teilers ist pi durch das Produkt aller Primzahlen + 1 und durch das Produkt aller Primzahlen teilbar, heißt a/b / a/c => a/(b-c) und somit ergibt sich pi/+1, weil das Produkt aller Primzahlen mit dem anderen Produkt aller Primzahlen subtrahiert wird, also:

pi/(p1/p2/p3....,pk)+1 und Pi/(p1/p2/p3....,pk)

=> Pi/((p1/p2/3....,pk)+1-(p1/p2/3....,pk))

=> Pi/1 Widerspruch!

die Primzahl (m) kann nicht die 1 teilen?
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
=> z.B. 2,3,5,7 aus allen pi, pi sind alle mögl. Primzahlen

So ist es richtig.


Zitat:
emäß vom Satz des kleinsten Teilers ist pi durch das Produkt aller Primzahlen + 1 und durch das Produkt aller Primzahlen teilbar, heißt a/b / a/c => a/(b-c) und somit ergibt sich pi/+1, weil das Produkt aller Primzahlen mit dem anderen Produkt aller Primzahlen subtrahiert wird, also:

Auch hier verstehe ich nicht was das bedeuten soll.
Weder ich noch google kennt einen Satz des kleinsten Teilers.
Was soll pi sein?
Danach stehen Worte, ich kann allerdings keinerlei Sinn daraus lesen.

Was soll das
Zitat:
p1/p2/p3....,pk
sein?
Mehrfachbrüche von Primzahlen?
Was macht das Komma am Schluss?

Zitat:
die Primzahl (m)

m ist nicht notwendig prim, wie ich bereits schrieb.
e^pi Auf diesen Beitrag antworten »

Es sollte lauten:

p1,p2,p3....,pk

und keine Mehrfachbrüche darstellen
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Es macht trotzdem keinen Sinn.

Und es ist nur eine von vielen Ungenauigkeiten/Fehlern im Post.

Nur einen davon halbgar und den Rest zu ignorieren bringt gar nichts.
e^pi Auf diesen Beitrag antworten »

Îch mache es nochmal:

Ich soll die Aussage: "Es gibt unendlich viele Primzahlen" beweisen.
Dies mache ich durch den indirekten Beweis, Beweis des Widerspruchs, indem ich vom Gegenteil der zu beweisenden Aussage ausgehe.

Beweis

Annahme: Es gibt endlich viele Primzahlen.

(2,3,5,7,11,13,17,19,....pk)

p1=2
p2=3
p3=5
p4=7
usw..

pk= ist die größte Primzahl

Wenn man jetzt eine Zahl Z konstruieren würde, die sich aus dem Produkt aus aller Primzahlen aus der obigen Liste und dem Faktor +1 zusammensetzt, dann hätte man zwei Optionen:

Z ist keine Primzahl, d.h. wenn man Z durch irgendeine beliebige Primzahl genannt "pi" teilt, müsste sie sich in die ursprünglichen Primfaktoren zerlegen lassen und der Rest wäre 1 (wegen der +1).

Z ist selbst eine Primzahl, was bedeuten würde, dass entweder die Liste an endlichen Primzahlen (2,3,5,7,11,13,17,19,....pk) unvollständig ist oder dass die Annahme, dass es endlich viele Primzahlen gibt falsch ist. (?) Also ist die Annahme ein Widerspruch
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
, müsste sie sich in die ursprünglichen Primfaktoren zerlegen lassen und der Rest wäre 1 (wegen der +1).

Bei Primfaktorzerlegung gibt es keinen Rest.

Zitat:
dass die Liste an endlichen Primzahlen (2,3,5,7,11,13,17,19,....pk) unvollständig ist

Es ist Z>pk; Z ist eine Primzahl größer als die größte primzahl. Das ist ein Widerspruch.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »