vollst. Induktion

22.10.2018, 17:15

Ascareth

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vollst. Induktion

Hallo zusammen,

es geht um folgende Aufgabe:

Hypothese: $\begin{eqnarray*} A(n) = 2^n > n^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N} : n \geq n_0 = 5 \end{eqnarray*}$

Anfang: $\begin{eqnarray*} A(n_0) \Rightarrow 2^{n_0} = 2^{5} = 32 > n_0^2 = 5^2 = 25 \end{eqnarray*}$

Annahme: Weil $\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb{N} : n \geq n_0 = 5 \end{eqnarray*}$ wird angenommen, dass $\begin{eqnarray*} A(n) \Rightarrow A(n+1) \end{eqnarray*}$

Schluss: $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2 \cdot n^2 = n^2 + n^2 > \color{blue}n^2 + 3n \color{black}> (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wie der blaue Ausdruck zustande kommt. Der Ausdruck ist nicht gleich n^2 + n^2. So viel ist klar. Aber woher kommt er?

Gruß, Asca

22.10.2018, 17:39

HAL 9000

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Es ist $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ , damit erst recht $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ . Multipliziert mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} n^2>3n \end{eqnarray*}$ .

Genauso dann zum Schluss: Da wird bei $\begin{eqnarray*} n^2+3n = n^2+2n+n > n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$ in der letzten Abschätzung schlicht $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ benutzt, was ja auch aus $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ folgt.

22.10.2018, 19:16

Ascareth

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Ich habe noch nie gesehen, dass man das so machen kann, also aus dem Vergleich der Bedingung (n geq 5) einen Ausdruck für die Termumformung gewinnen. Ich bin sehr überrascht, diesen Weg so gezeigt zu bekommen.

Mit meinen Worten: Es geht im Wesentlichen darum, aus dem Vergleich der Hypothese und dem Vergleich der Bedingung (für alle n > blubb) Ausdrücke so zu gewinnen, dass am Ende möglichst auf einer Seite des Vergleichsoperators nur noch eine Zahl steht und auf der anderen Seite ein Ausdruck mit n. Kann man das so sagen oder gäbe es noch wesentlich mehr zu sagen?

Den Begriff "Einsetzen", beispielsweise dem Vergleich der Aussage nach für 2^n den Ausdruck n^2 "einsetzen", sollte man in diesem Zusammenhang wohl am besten vermeiden? Man setzt ja nicht ein, sondern zieht aus den Vergleichen die weiterführenden Ausdrücke?

Gruß, Asca

PS: Warum muss man 3n eigentlich nicht für beide n^2 einsetzen?

22.10.2018, 20:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ascareth
Ich habe noch nie gesehen, dass man das so machen kann

Ja wie denn sonst? Irgendwie musst du nutzen, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine gewisse Mindestgröße hat, denn $\begin{eqnarray*} n^2\geq 2n+1 \end{eqnarray*}$ ist nun mal nicht für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gültig - überzeuge dich selbst für n=1 und n=2. Der Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ muss im vorliegenden Fall nur für $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ klappen, also darf man diese geltende Ungleichung in der Argumentation auch nutzen.

Und: Mit dem, was du "nicht gesehen" hast, kann man sicher Bücher, ja ganze Bibliotheken füllen. Was auf mich übrigens auch zutrifft. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.10.2018, 09:39

Ascareth

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ , damit erst recht $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ . Multipliziert mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} n^2>3n \end{eqnarray*}$ .

Was ich daran nicht verstehe, ist, dass für beispielsweise $\begin{eqnarray*} n = 4 \end{eqnarray*}$ die Behauptung nicht gelten soll. Wieso also lässt sich dennoch $\begin{eqnarray*} n > 3 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} n \geq 5 \end{eqnarray*}$ folgern?

23.10.2018, 10:29

Matt Eagle

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Die Behauptung ( $\begin{eqnarray*} 2^n>n^2, n\geq 3 \end{eqnarray*}$ ) lässt sich daraus auch nicht folgern.

Interessant an diesem Beispiel ist, dass der Induktionsschritt für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ bereits gelingt.

Zu einer VOLLSTÄNDIGEN Induktion gehören allerdings Induktionschritt UND Induktionsverankerung (o.a. Induktionsanfang).

Und die Induktionsverankerung gelingt hier für $\begin{eqnarray*} n=1 \text{ oder } n\geq 5 \end{eqnarray*}$ .

Mach Dir das Beweisprinzip der vollständigen Induktion mal gründlich klar und überleg Dir mal warum die Induktionsverankerung für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ (schließlich gilt ja $\begin{eqnarray*} 2^1>1^2 \end{eqnarray*}$ ) hier nutzlos ist.

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23.10.2018, 15:59

Ascareth

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Zitat:

Original von Matt Eagle
Die Behauptung ( $\begin{eqnarray*} 2^n>n^2, n\geq 3 \end{eqnarray*}$ ) lässt sich daraus auch nicht folgern.

Danach habe ich nicht gefragt.

Ich habe gefragt, wieso man $\begin{eqnarray*} n > 3 \end{eqnarray*}$ annehmen kann, wenn doch $\begin{eqnarray*} n \geq 5 \end{eqnarray*}$ die Bedingung für die Behauptung ist, also die Implikation A(n) => A(n+1) für die Fälle kleiner als 5 überhaupt nicht gelten soll und damit diese Fälle nicht relevant sind, was die Wahrheit der Behauptung angeht.

Übrigens: Es besteht keine falsche Aussage im Sinne der Implikation A(n) => A(n+1) für n >= 5, wenn die Aussage auch wahr ist für ein n kleiner als 5. Lediglich wenn die Aussage für auch nur ein einziges n >= 5 falsch wäre, dann wäre auch die gesamte Behauptung falsch.

Ich verstehe also nicht, was du mit deinen Andeutungen sagen willst. Vielleicht sprichst du dieses noch einmal deutlich aus.

23.10.2018, 19:32

Matt Eagle

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Zitat:

Original von Ascareth
Ich habe gefragt, wieso man $\begin{eqnarray*} n > 3 \end{eqnarray*}$ annehmen kann, wenn doch $\begin{eqnarray*} n \geq 5 \end{eqnarray*}$ die Bedingung für die Behauptung ist,

Wenn laut Vor. $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt doch erst recht $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ .
Das ist trivial!

23.10.2018, 19:39

Ascareth

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Zitat:

Original von Matt Eagle
Wenn laut Vor. $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt doch erst recht $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ .
Das ist trivial!

Ist für mich vollkommen unverständlich und kein bisschen trivial, weil der Induktionsanfang bei 5 ist und die Behauptung absolut nichts über n < 5 sagt. Ergibt für mich daher 0 Sinn.

23.10.2018, 19:46

HAL 9000

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@Ascareth

Du kannst uns ja gern eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nennen, die zwar $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ aber nicht $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Die akzeptieren wir dann als Gegenbeispiel.

----------------------------

Um dieser schon absurd sinnfreien Diskussion aus dem Weg zu gehen, kann man für $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ im Induktionsschritt natürlich auch so abschätzen:

$\begin{eqnarray*} 2n^2 = n^2+n^2 \geq n^2+5n = n^2+2n+3n\geq n^2+2n+3\cdot 5 = (n+1)^2+14 > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ .

Bis hin zum vorletzten Term hat man noch eine mögliche Gleichheit im Fall $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ . Vielleicht kannst du dich ja damit anfreunden. Big Laugh

Big Laugh

23.10.2018, 20:43

Matt Eagle

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Zitat:

Original von Ascareth

Zitat:

Original von Matt Eagle
Wenn laut Vor. $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt doch erst recht $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ .
Das ist trivial!

Ist für mich vollkommen unverständlich und kein bisschen trivial, weil der Induktionsanfang bei 5 ist und die Behauptung absolut nichts über n < 5 sagt. Ergibt für mich daher 0 Sinn.

Offenbar willst Du weiterhin mit aller Kraft am Nicht-Verstehen-Wollen festhalten.
So wird das nix, da bin ich raus. Vielleicht findet sich ja jemand, der mit mehr Geduld gesegnet ist. Wink

Wink

23.10.2018, 20:56

Ascareth

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Ok. Ihr habt also beide ein größeres Interesse daran mich falsch verstehen, als mir eine Hilfe sein zu wollen.

Dann noch viel Spaß weiterhin und einen schönen Abend!

23.10.2018, 20:57

Ascareth

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Zitat:

Original von Matt Eagle
Offenbar willst Du weiterhin mit aller Kraft am Nicht-Verstehen-Wollen festhalten.
So wird das nix, da bin ich raus. Vielleicht findet sich ja jemand, der mit mehr Geduld gesegnet ist. Wink

Wink

Verstehen-wollen kann man nur dort, wo jemand versucht etwas zu erklären, was du nicht tust. In diesem Sinne: Bleib in Zukunft besser gleich raus Wink

Wink

24.10.2018, 07:40

HAL 9000

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Nach deinem Abgleiten in dumme Polemik bin ich auch raus.

Zitat:

Original von Ascareth
Bleib in Zukunft besser gleich raus

Dem schließe ich mich auch an: Hat ja sowieso keinen Zweck, jemanden helfen zu wollen, der selbst einfachste Argumente wie $\begin{eqnarray*} n\geq 5\;\Rightarrow\; n>3 \end{eqnarray*}$ nicht bereit ist anzuerkennen und nach weiterer Erklärung schreit. unglücklich

unglücklich

24.10.2018, 08:16

Ascareth

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Die Behauptung gilt für n >= 5. Damit gilt die Behauptung NICHT für n > 3. Im Übrigen kannst du das leicht erkennen, wenn du einfach mal 4 in die Behauptung einsetzt. Daraus geht nämlich eine falsche Aussage hervor!

Das heißt: Du gehst in deinem Überheblichkeitswahn, dem du offensichtlich anheim gefallen bist, von einem FALSCHEN Argument aus, weil die Behauptung für n > 3 (Beispiel: 4) FALSCH ist!

In diesem Sinne ... einen schönen Tag!

24.10.2018, 08:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ascareth
Die Behauptung gilt für n >= 5. Damit gilt die Behauptung NICHT für n > 3.

So ein logischer Dummfug ist mir schon lange nicht über den Weg gelaufen. ROFL

ROFL

24.10.2018, 12:50

Ascareth

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So so. Du behauptest also, dass die Hypothese, weil sie für n >= 5 gilt auch für n > 3 gelten muss und dass deswegen auch A(4) eine wahre Aussage sein muss, dass also $\begin{eqnarray*} 2^4 = 16 > 4^2 = 16 \end{eqnarray*}$ ist.

Du behauptest also, dass 16 > 16 ist! Aha. Na dann habe ich keine weiteren Fragen mehr dich.

Vielleicht doch noch eine: Hast du in deinem letzten Beitrag jemanden als dumm bezeichnet?

24.10.2018, 14:01

URL

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Zitat:

Original von Ascareth
Du behauptest also, dass die Hypothese, weil sie für n >= 5 gilt auch für n > 3 gelten muss

Das hat niemand behauptet.
Es wurde nur behauptet, dass für eine natürliche Zahl n, für die n>=5 gilt, auch n>3 gilt. Und das ist zweifellos richtig.

24.10.2018, 14:05

PWM

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Hallo,

ich versuche mal eine Vermittlung:

Wir wollen eine Aussage A(n) für $\begin{eqnarray*} n \geq 5 \end{eqnarray*}$ beweisen.

In dem Beweis benutzen wir eine technische Ungleichung $\begin{eqnarray*} a_n \leq b_n \end{eqnarray*}$ , die unabhängig von dem Beweiszusammenhang gültig ist und zwar für $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ .

Bei unserem Beweis für A(n) ist $\begin{eqnarray*} n \geq 5>3 \end{eqnarray*}$ , sodass wir die Ungleichung $\begin{eqnarray*} a_n \leq b_n \end{eqnarray*}$ verwenden dürfen.

Gruß pwm

24.10.2018, 14:52

Ascareth

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Also ich kann es nur noch einmal wiederholen, wogegen leider bisher auch nichts spricht, nämlich, dass ein Beweis für eine Behauptung A(n) mit n >= 5 erbracht werden muss und dass es mir vollkommen unverständlich ist, warum man als Beweis für eine solche Aussage, die für n >= 5 gelten soll, den Ausdruck n > 3 heranziehen kann.

Noch unverständlicher wird die Sache, wenn man bedenkt, dass die Aussage A(n) für A(4) falsch ist(!) und dass aber wohl niemand bestreiten wird, dass n > 3 eben auch n = 4 bedeutet, weil nicht nur 5 sondern auch 4 > 3 ist.

Für mich ergibt das keinen Sinn, weil es einfach vollkommen unlogisch ist. Ich gehe für den Beweis der Behauptung von A(n) mit n >= 5 aus - das ist mein Induktionsanfang - und n > 3 - kann ich nicht verstehen, warum das gültig sein soll - tut mir Leid ...

24.10.2018, 15:12

URL

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Wir reden davon, dass für eine natürliche Zahl n mit n>=5 auch n>3 richtig ist.

Du unterstellst, wir würden folgendes behaupten: Wenn A(n) für n>=5 richtig ist, dann ist A(n) auch für n>3 richtig.
Das hat aber keiner behauptet. Wir reden über n, du über A(n)

24.10.2018, 18:43

Ascareth

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Die Aussage A(n) ist aber untrennbar mit der Bedingung n >= 5 verbunden UND sie gilt eben nicht für n > 3.

Außerdem ist die Anfangsbedingung auch nur für 5 bewiesen worden und nicht für Werte kleiner 5 und für 4 auch noch falsch.

... ergibt 0 Sinn für mich, was Ihr da macht ...

Aber was solls ... dann ist das eben so. ...

25.10.2018, 16:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von URL
Wir reden davon, dass für eine natürliche Zahl n mit n>=5 auch n>3 richtig ist.

Du unterstellst, wir würden folgendes behaupten: Wenn A(n) für n>=5 richtig ist, dann ist A(n) auch für n>3 richtig.

Sehr gute Analyse, jetzt begreife ich erst, was im Kopf des Fragestellers so an Verwirrung vorgehen mag. Dass er dieses Fehlverständnis (ich würde da keineswegs Absicht vermuten) nicht endlich einräumen will, ist schon grotesk.

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