Endlicher Index Untergruppe

22.10.2018, 18:44

daniel341

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Endlicher Index Untergruppe

Meine Frage:
Seien A,B Untergruppen von G und A Untergruppe von B. A habe endlichen Index in G. Zeigen Sie, dass B endlichen Index in G hat.

Meine Ideen:
Die Anzahl der Linksnebenklassen von A ist ja endlich und dann nimmt man ja eigentlich nur noch Elemente aus B\A hinzu für die man Elemente bildet, aber ich bin mir nicht sicher warum dieser Teil endlich ist, wir haben ja nicht gegeben, dass G eine endliche Gruppe ist.
Kann mir jemand helfen?

22.10.2018, 18:54

Elvis

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Zeige, dass der Index multiplikativ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} (G:A)=(G:B)\cdot (B:A) \end{eqnarray*}$

(In der Schule wusste ich das noch nicht, da musste ich doch ein wenig Algebra studieren. Manche Schüler sind heute schlauer als früher, oder du hast die Frage im falschen Bereich gepostet.)

22.10.2018, 19:57

daniel341

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Habe es tatsächlich falsch gepostet, sorry.

Leider komme ich nicht wirklich weiter, ich denke ich habe auch noch etwas noch nicht ganz durchdrungen.

Ich denke mir nämlich, dass man mit (G:B) doch aufjedenfall schon so viele Elemente hat bzw. mehr als (G:A) weil man ja elemente b aus B nimmt also insbesondere die in A, also kann doch die Anzahl der Nebenklasse nur größer werden? verwirrt

verwirrt

Aber das kann ja irgendwie nicht sein.

22.10.2018, 21:39

Elvis

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$\begin{eqnarray*} G=g_1A\cup... \cup g_{(G:A)} A \end{eqnarray*}$
Stelle die beiden Mengen G und B unter Verwendung der beiden anderen Indices (G:B) und (B:A) als Vereinigung von Teilmengen dar, und denke darüber nach. Benutze insbesondere, dass alle Nebenklassen einer Gruppe nach einer Untergruppe gleichmächtig sind, und dass verschiedene Nebenklassen disjunkt sind.

23.10.2018, 10:27

daniel341

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Ich seh gerade, dass A nur Teilmenge von B ist, dann kann ich A ja nicht mehr so einfach darstellen..

23.10.2018, 11:09

Elvis

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Das stimmt nicht. Eine deiner Voraussetzungen ist "Seien A,B Untergruppen von G und A Untergruppe von B." Außerdem sollst du nicht A darstellen sondern G und B.

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23.10.2018, 11:09

daniel341

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Oder muss A dann auch eine Untergruppe von B sein, weil beide Untergruppen von G sind.
Also ist B eine Vereinigung von LNK bA_1 bis bA_2.
Alle LNK von Gruppe G in B haben Mächtigkeit c.
G hat Menge on LNK (G:B) =d
Alle LNK von Gruppe G in A hat Mächtigkeit e.
G hat Menge von LNK (G:A) =f.

verwirrt

verwirrt

23.10.2018, 11:13

Elvis

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Ich bitte um sinnvolle Schreibweise und Wortwahl. Du darfst dich gerne an meiner Schreibweise orientieren. Was soll LNK sein ? Linksnebenklassen ? Die Mächtigkeit der Nebenklassen spielt keine Rolle. Es geht nur um die Indices.
Hier habe ich dir schon eine Vorgehensweise vorgeschlagen :

Zitat:

Original von Elvis
Stelle die beiden Mengen G und B unter Verwendung der beiden anderen Indices (G:B) und (B:A) als Vereinigung von Teilmengen dar, und denke darüber nach.

23.10.2018, 11:28

daniel341

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Ja LNK ist Linksbenklasse, ich meine aber, dass in der Aufgabe steht, dass A Teilmenge von B ist, aber aus der anderen Voraussetzung müsste dann folgen, dass auch A eine Untergruppe von B sein muss.

Wir haben also $\begin{eqnarray*} B=b_{1}A\cup ...\cup b_{B:A}A \end{eqnarray*}$

Gut jetzt weiß ich, dass alle LNK $\begin{eqnarray*} g_{1}A...g_{G:A} A \end{eqnarray*}$ die gleiche Mächtigkeit haben und disjunkt sind und das gleiche für die LNK von A in B.

Jetzt könnte ich G in Form von disjunkten Vereinigungen von LNK in die Untergruppe A und dazu Die LNK B\A darstellen?

23.10.2018, 11:39

Elvis

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Mach doch einfach alles, was sinnvoll ist. Durch den Multiplikationssatz habe ich dir schon vorgegeben, was zu tun ist. Und achte auf deine Wortwahl: 1. es gibt keine "LNK in die Untergruppe A" 2. es gibt keine "LNK B\A". Mache dir zuerst einmal klar, was eine LNK ist, sonst wirst du nie zum Ziel kommen.

23.10.2018, 12:19

daniel341

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Habe ich B denn richtig als Vereinigung dargestellt? Ich würde die Gruppe G als Vereinigung von LNK in die Untergruppe B darstellen und dann B als Vereinigung von LNK in die Untergruppe A, dann könnte ich einsetzen und hätte doch die Behauptung oder?

23.10.2018, 12:39

Elvis

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"Es gibt nichts Gutes, außer man tut es." (Erich Kästner) Big Laugh

Big Laugh

23.10.2018, 12:46

daniel341

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$\begin{eqnarray*} G=g_{1}B\cup ...\cup g_{G:B}B \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} B=a_{1}A\cup ...\cup a_{B:A}A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G=g_{1}a_{1}A\cup ...\cup a_{B:A}A\cup ...\cup g_{G:B}a_{1}A\cup ...\cup a_{B:A}A \end{eqnarray*}$

23.10.2018, 13:17

Elvis

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Falsch eingesetzt, und der entscheidende Schritt fehlt, nämlich die Gleichsetzung mit meiner Zerlegung von G in Nebenklassen nach A. Warum hast du die b's aus deiner früheren Zerlegung in a's umbenannt ? Wieso benutzt du meine g's aus der Zerlegung von G nach A für die Zerlegung von G nach B ?

23.10.2018, 17:39

daniel341

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Warum kann man die gleichsetzen? Da steht doch erstmal nichts gleiches.

23.10.2018, 18:13

Elvis

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G=G

23.10.2018, 19:54

daniel341

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verstehe ich nicht, du sagst ich soll G und B darstellen und dann gleichsetzen.

23.10.2018, 19:56

Elvis

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$\begin{eqnarray*} G=g_1A\cup...\cup g_{(G:A)}A,\,G=h_1B\cup...\cup h_{(G:B)}B,\, B=b_1A\cup...\cup b_{(B:A)}A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G=G \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g_1A\cup...\cup g_{(G:A)}A=h_1(b_1A\cup...\cup b_{(B:A)}A)\cup...\cup h_{(G:B)}(b_1A\cup...\cup b_{(B:A)}A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g_1A\cup...\cup g_{(G:A)}A=h_1b_1A\cup...\cup h_1b_{(B:A)}A\cup...\cup h_{(G:B)}b_1A\cup...\cup h_{(G:B)}b_{(B:A)}A \end{eqnarray*}$

24.10.2018, 15:30

Elvis

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Achtung. Das war der technische Teil der Aufgabe. Der Rest des Beweises benötigt etwas Intelligenz. Das möchte ich gerne dir überlassen. Bitte überzeuge mich, dass du intelligent genug bist um den Beweis zu Ende zu führen.

25.10.2018, 18:19

Elvis

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Alle klar ? Alles unklar ? Ich warte gespannt auf Antwort und möchte auch gerne wissen, ob meine Gedankengänge richtig sind.

27.10.2018, 13:29

Elvis

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Anscheinend interessiert das mal wieder niemanden außer mir. Weil es wichtig ist, halte ich hier mal meinen Beweis fest.

Behauptung: $\begin{eqnarray*} h_ib_jA=h_{i'}b_{j'}A\Leftrightarrow i=i'\wedge j=j' \end{eqnarray*}$
Beweis: " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ " trivial
" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " durch Kontraposition, z.z. $\begin{eqnarray*} i\ne i'\vee j\ne j'\Rightarrow h_ib_jA\ne h_{i'}b_{j'}A \end{eqnarray*}$
(a) $\begin{eqnarray*} i\ne i' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A\subseteq B,b_j,b_{j'}\in B\Rightarrow b_jA,b_{j'}A\subseteq B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_iB\cap h_{i'}B=\emptyset \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} G=\dot \bigcup h_xB \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow h_ib_jA\cap h_{i'}b_{j'}A=\emptyset \Rightarrow h_ib_jA\ne h_{i'}b_{j'}A \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} i=i',j\ne j'\Rightarrow b_jA\cap b_{j'}A=\emptyset \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} B=\dot \bigcup b_yA \end{eqnarray*}$
Annahme: $\begin{eqnarray*} z\in h_ib_jA\cap h_ib_{j'}A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow z=h_ib_ja=h_ib_{j'}a'\Rightarrow h_i^{-1}z=b_ja=b_{j'}a'\in b_jA\cap b_{j'}A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b_jA\cap b_{j'}A\ne\emptyset \end{eqnarray*}$ Widerspruch !
Also ist $\begin{eqnarray*} h_ib_jA\cap h_ib_{j'}A=\emptyset \end{eqnarray*}$
q.e.d.

Damit ist gezeigt, dass der Index multiplikativ ist, und aus $\begin{eqnarray*} A\le B\le G, (G:A) \lt \infty \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (G:B)\lt \infty \end{eqnarray*}$ .

27.10.2018, 13:51

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Aus $\begin{eqnarray*} h_ib_jA=h_{i'}b_{j'}A \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} h_ib_jB \cap h_{i'}b_{j'}B \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ also gilt Gleichheit dieser Nebenklassen von B, und daraus folgt wegen $\begin{eqnarray*} b_j,b_{j'}\in B \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} h_i=h_{i'} \end{eqnarray*}$
Kann man so argumentieren? verwirrt

verwirrt

Will man nur die Endlichkeit zeigen, geht es einfacher: Wegen $\begin{eqnarray*} G=g_1A\cup...\cup g_{(G:A)}A\subset g_1B\cup...\cup g_{(G:A)}B \end{eqnarray*}$ reichen endlich viele Nebenklassen von B, um G zu überdecken. Also gibt es nur endlich viele.

27.10.2018, 14:03

Elvis

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Das gefällt mir, und es ist erfreulich kurz. Freude

Freude

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