Mittelpunktsverfahren / Runge Kutta

23.10.2018, 01:18

Pfalz

Mittelpunktsverfahren / Runge Kutta

Hallo zusammen,

vielen Dank das ich mir anmelden durfte.
Ich bin neu hier und habe leider schon ein mathematisches Problem bei dem ich Hilfe bräuchte.

Wie die Überschrift schon sagt geht es um das Mittelspunktsverfahren.

Die allgemeiner Formel lautet ja:

y´=yi + h * (f xi + h/2 , yi + h/2 f(xi, yi))

Nun tu ich mir schwer herauszufinden welcher Wert dem xi entspricht.

Als Beispiel:

y´= e^4/x * sin (pi*x) - y/x^3 y(1)=1 Schrittweite= 1/2

Nach meinem Verständnis wurde die Formel folgendermaßen aussehen:

y1= yi + 1/4* (e^4/x * sin (pi*x) + 1/4) - 1/4(e^4/x * sin (pi*x) - y/x^3 ))

Ich gehe davon aus das es falsch ist und wollte fragen wo mein Gedankenfehler liegt.

Mit freundlichen Grüßen

Pfalz

edit= Ich glaube ich habe ins falsche Unterfoum gepostet, dass tut mir leid.

23.10.2018, 13:44

Huggy

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RE: Mittelpunktsverfahren / Runge Kutta

Zitat:

Original von Pfalz
Die allgemeiner Formel lautet ja:

y´=yi + h * (f xi + h/2 , yi + h/2 f(xi, yi))

Hier ist die linke Seite falsch und auf der rechten Seite die Klammersetzung nicht korrekt. Korrekt ist

$\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+hf\left (x_i+\frac h 2, y_i+\frac h 2 f(x_i,y_i)\right ) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Nun tu ich mir schwer herauszufinden welcher Wert dem xi entspricht.
Als Beispiel:

y´= e^4/x * sin (pi*x) - y/x^3 y(1)=1 Schrittweite= 1/2

Das ist einfach. Man hat zunächst die Anfangswerte $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0=y(x_0)=1 \end{eqnarray*}$ und die Schrittweite $\begin{eqnarray*} h = 1/2 \end{eqnarray*}$ . Es ist dann

$\begin{eqnarray*} x_{i+1}=x_i+ h \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} x_1=x_0+\frac 1 2= 1+\frac 1 2=\frac 3 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=x_1+\frac 1 2= \frac 3 2+\frac 1 2 =2 \end{eqnarray*}$

usw.

Zitat:

Nach meinem Verständnis wurde die Formel folgendermaßen aussehen:y1= yi + 1/4* (e^4/x * sin (pi*x) + 1/4) - 1/4(e^4/x * sin (pi*x) - y/x^3 ))

Das ist in jeder Hinsicht falsch.
Es macht auch wenig Sinn, die geschachtelten Terme explizit hinzuschreiben. Man berechnet das übersichtlicher schrittweise. Zunächst berechnet man

$\begin{eqnarray*} k_i=f(x_i,y_i) \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+hf\left (x_i+\frac h 2, y_i+\frac h 2 f(x_i,y_i)\right )=y_i+hf\left (x_i+\frac h 2, y_i+\frac h 2 k_i\right ) \end{eqnarray*}$

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