Komplexe Zahlen, Summe der Beträge

23.10.2018, 20:19	Queiser	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen, Summe der Beträge Hallo zusammen. Ich habe eine Aufgabe, bei der ich bisher keinen Weg gefunden habe, der mich halbwegs Richtung Lösung bringt. Die Beschreibung der Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} z_0, z_1, .... ,z_{n-1} \end{eqnarray}$ komplexe Zahlen, die n Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} z^n = 1 \end{eqnarray}$ sind. Es soll $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \|1-z_k\| \end{eqnarray}$ berechnet werden. Mit $\begin{eqnarray} z^n = cos(\phi n) +i \cdot sin (\phi n) = 1 \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} \phi = \frac{2 \pi k}{n} \end{eqnarray}$ . k sind pos., ganze Zahlen. Und somit ist $\begin{eqnarray} z_k = e^{ \frac{i \cdot 2\pi \cdot k}{n}} \end{eqnarray}$ Also grundsätzlich hat mir der Betrag $\begin{eqnarray} \|1-z_k\| \end{eqnarray}$ immer einen Strich durch die "Rechnung" gemacht. Denn wenn ich über $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \left\|1-e^{ \frac{i \cdot 2\pi \cdot k}{n}} \right\| \end{eqnarray}$ versuche, den e-Term in Reihe darzustellen, bzw. ihn in sin(..) und cos(..) umschreibe, habe ich das Problem, dass ich durch die Wurzel (mit der ich den Betrag berechne) die Summen nicht zusammenfassen kann. Ich habe diese Summen zwar mal bis n=6 ausgerechnet und kann auch eine Regelmäßigkeit erkennen, aber eine allg. Herleitung habe ich bisher nicht hin bekommen. Ich würde mich über einen Ratschlag freuen.
24.10.2018, 14:54	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen, Summe der Beträge Ohne viele Worte: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \|1-z_k\|=2\sum_{k=0}^n \sin {\frac k n \pi}=2\cot {\frac {\pi}{2n}} \end{eqnarray}$ In der mittleren Summe können die Terme mit $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k=n \end{eqnarray}$ auch weggelassen werden.

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