Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen |
| 24.10.2018, 14:35 | nini17 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen Hallo 
Ich habe ein bisschen ein Problem mit den Äquivalenzklassen und Äquivalenzrelationen. Ich habe bereits viel darüber gelesen aber ich hab anscheinend nicht genug verstanden, denn das folgende Beispiel kann ich noch immer nicht lösen. Es handelt sich dabei um folgendes Beispiel. Wir wollen die ganzen Zahlen Z konstruieren. Dazu de finieren wir auf der Menge NxN die Relation ~ wie folgt (a) Zeigen Sie, dass ~ eine Aquivalenzrelation auf N x N ist. (b) Wir bezeichnen mit [(a,b)]~ die (eindeutige) Aquivalenzklasse, die das Element (a,b) enthält. De finieren Sie eine (wohlde finierte) Addition "+" auf der Menge der Aquivalenzklassen, die mit der "bekannten" Addition auf Z übereinstimmt, wenn folgende Interpretation zugrunde gelegt wird. [attach]48198[/attach] D.h. die Klasse [(5; 5)]~ entspricht dem Symbol 0, die Klasse [(6; 3)]~ entspricht dem Symbol 3, die Klasse [(2; 4)]~ entspricht dem Symbol -2 und so weiter. Meine Ideen: Also (a) hab ich ja ganz einfach lösen können, in dem ich überprüft habe, ob die Angabe reflexiv, symmetrisch und transistiv ist, was ja auch der Fall ist. Aber ich verstehe einfach nicht, was überhaupt mit b gemeint ist. Vielleicht wäre bereits ein kleiner Denkanstoß, was hier überhaupt gemeint ist, hilfreich. Würde mich sehr über Hilfe freuen. |
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| 24.10.2018, 15:50 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du musst folgendes Theorem kennen: Jede Aequivalenzrelation auf einer Menge M zerlegt M in paarweise disjunkte Teilmengen (Klassen). Jede Klasseneinteilung von M induziert eine Aequivalenzrelation. In diesem Beispiel sind die Klassen die Paare natürlicher Zahlen mit gleicher Differenz. Du sollst auf den Klassen eine Addition definieren, die der Addition ganzer Zahlen entspricht. Definiere und beweise, dass die Klasse, die du Summe zweier Klassen nennst, nicht von den speziellen Paaren der Summandenklassen abhängig ist (das nennt man wohldefiniert). Vergiss die sonst üblichen Symbole ganzer Zahlen mit Vorzeichen, diese Symbole darfst du hier keinesfalls verwenden. |
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