Supremum von Intervall

24.10.2018, 17:21	Anonym314259	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum von Intervall Meine Frage: Hallo Leute, ich hätte da mal eine Frage zu einer Aufgabe. Zeigen Sie: Für reelle Zahlen a < b gilt: sup(a,b]=b. Meine Ideen: Sei I=(a,b] und x beliebig mit $\begin{eqnarray} x \in I \end{eqnarray}$ . Dann gilt ja für alle x aus I: $\begin{eqnarray} a < x \leq b \end{eqnarray}$ . Daraus folgt, dass b eine obere Schranke ist. Zu zeigen ist also nur noch, dass b die kleinste obere Schranke ist. Sei $\begin{eqnarray} c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit c<b. Dann gilt für alle x aus I: $\begin{eqnarray} x \leq c \end{eqnarray}$ . Für x=b findet sich jedoch ein x aus I, welches größer als c ist, da c<b=x. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass alle x aus I kleiner gleich c sind. Also ist b die kleinste obere Schranke, was zu zeigen war. Wäre das schon ein Beweis dafür? Da die Aufgabenstellung eigentlich trivial ist, fällt es mir schwer das zu entscheiden. Vielen Dank
24.10.2018, 17:25	Anonym314259	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: c sei eine weitere Obere Schranke, für die dann die oben genannten Eigenschaften gelte.
24.10.2018, 17:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Scheint richtig zu sein, geht aber auch direkter: Für alle $\begin{eqnarray} x\in I \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x\le b \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ obere Schranke von $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ . Für alle $\begin{eqnarray} c<b \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} c<b\in I \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ keine obere Schranke von $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ .

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