Verständnisfrage - Bijektivität mit Jacobi Matrix

24.10.2018, 21:48	xMathematicsx	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage - Bijektivität mit Jacobi Matrix Meine Frage: Hallo, ich will eine komplexe mehrdimensionale Funktion auf Bijektivität untersuchen. Meine Ideen: Kann man durch die Jacobi Matrix, wenn diese vollen Rang hat, daraus schließen, dass die Funktion bijektiv ist ? LG und Danke !
25.10.2018, 09:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum versteckst du, was du weißt und kannst? Welche Funktion hast du und was machst du damit?
25.10.2018, 10:55	xMathematicsx	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die Aufgabe . [attach]48202[/attach] Also geht das nun,wie ich es beschrieben habe ?
25.10.2018, 11:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
ja
25.10.2018, 11:26	xMathematicsx	Auf diesen Beitrag antworten »
hm,aber die erste Ableitung (analog für die anderen) nach dem Argument x ist gleich null..sprich kein voller Rang ? Andrerseits haben wir oben die Informaiton x^2+y^2=1 , s.d x doch eindeutig zugeordnet werden kann oder ?
25.10.2018, 11:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
z=x+iy. Wieso ist die Ableitung nach x gleich 0 ?
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25.10.2018, 12:06	xMathematicsx	Auf diesen Beitrag antworten »
aber die Argumente (x,y,z) kommen ja aus einer Teilmenge des R^3..wie kommt man darauf, dass z = x + iy ? $\begin{eqnarray} \Phi_{1}(x,y,z) = arcsin(y) + iz \end{eqnarray}$ , wobei x,y,z aus Z sind Wenn ich das nach x ableite erhalte ich null , nach y abgeleitet : $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{1-y^2} } \end{eqnarray}$ und nach z abgeleitet : i Als alternative zur Bijektivität hatte ich mir folgenden Ansatz überlegt.. für alle i=1,..4 gilt, dass iz eindeutig bestimmt ist, da mit iz1=a und iz2=a --> z1 = z2. der arcsin ist bijektiv und stetig def auf [-1,-1] und da all unsere Argumente aus dem Bereich sind hätten wir das auch. Für die Komponente die in der Gleichung nie auftaucht,beispielsweise bei der ersten für x hätten wir : da x>0 und x^2+y^2 = 1 , folgt dass x mit =Wurzel aus (1-y^2) eindeutig bestimmt ist.
25.10.2018, 14:16	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich weiß nicht, was Elvis oben mit "ja" meint, aber grundsätzlich reicht Invertierbarkeit der Jacobimatrix nicht aus, um globale Injektivität zu beweisen. Das geht nur bei Abbildungen von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Für ein Gegenbeispiel kann zum Beispiel die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray} \exp:\mathbb C\to\mathbb C \end{eqnarray}$ herhalten. Elvis meint bestimmt etwas anderes, das nur zur Klarstellung falls das deine Frage war.
26.10.2018, 12:19	xMathematicsx	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön Guppi. Dann über die “normale” Definition der Bijektivität ? Also das was ich zuletzt versucht habe darzustellen?

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