Lp-Raum interpretieren

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Sirob Auf diesen Beitrag antworten »
Lp-Raum interpretieren
Hallo zusammen Wink

Ich hab Schwierigkeiten mit einigen Beweisen und hab es mit Englischer Literatur zutun.
Vielleicht könntet Ihr mir bei der Interpretation der Lp-Räume helfen.

ist ein Maßraum und X ein Banachraum.

The Banach spaces of Bochner integrable functions.

linear space of all (equivalence classes of) srtongly -measurable functions f : S X for which there exist a real number r 0 such that = 0.

Den Lp-Raum den ich kenne, ist die Menge aller messbaren Funktionen f die p-fach integriebar sind, also endliches Integral haben. Bzw. Menge aller Äquivalenzklassen die außerhalb einer Nullmenge gleich sind.
Ich hab noch nicht Funktionalanalysis und Wahrscheinlichkeitstheorie gehört und verstehe die Unterschiede folgender Lp-Räume nicht.












Was bedeutet das für eine Funktion f aus den jeweiligen Mengen?
Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mir hier weiterhelfen kann.
Danke im voraus Freude smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das ist eigentlich alles ganz natürlich definiert. Auf einem Banachraum hat man immer einen Standard -Algebra, nämlich die Borel -Algebra, das ist die kleinste -Algebra, die von den offenen Mengen des Banachraums erzeugt wird.

Eine Funktion heißt nun stark messbar, wenn das Urbild jeder Borel-Menge in ein Element von ist, das ist ganz analog zur Messbarkeit von Abbildungen .

ist der Raum aller stark messbaren Abbildungen von nach .

ist ein Teilraum von . Er enthält alle Abbildungen , für die gilt. Das ist ein gewöhnliches Integral mit Werten des Integranden in . Dabei ist die Norm auf .

ist meist eine Abkürzung von .

Bei ist wahrscheinlich eine andere -Algebra. Ob es da eine kanonische gibt, die man so nennt, weiß ich nicht, vielleicht steht es in deinen Notizen.
Sirob Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Guppi12 für deine Antwort.
Ich hab gestern noch zufällig die Definitionen der jeweiligen Räume gefunden.
Danke nochmals für deine Ausführung.
Eine kleine Nachfrage hätte ich da noch verwirrt
Warum ist L^P(S;X) ein Teilraum von L^0(S;X) ?
Ich hätte eher gedacht, dass L^0(S;X) ein Teilraum von L^p(S;X) ist. Oder kann man das nicht so auffassen das z.B. L^0(S,X) Teilraum von L^1(S;X) ist?

Wenn p = 0 , folgt dann das L^0(S;X) die Menger aller linearen Funktionen ist und wenn p = 1 das L^1(S;X) die Menge aller quadratischen Funktion ist ?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist per Definition so. ist kein klassischer L^p-Raum, der über Integrale definiert ist, sondern es handelt sich definitionsgemäß um alle messbaren Funktionen bzw. deren Äquivalenzklassen. In den L^p-Räumen sind auch definitionsgemäß nur messbare Funktionen, bzw Äquivalenzklassen, daher handelt es sich bei L^p um einen Teilraum von L^0.

Was meinst du mit "quadratische Funkionen"?
Sirob Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
Das mit der quadratischen Fkt. war ein Denkfehler von mir sorry.

L^0(S;X) enthält also alle messbaren Funktionen deren Integral endlich ist bzw. alle Äquivalenzklassen.

Man nimmt doch den Betrag der Funktion und potenziert diese mit p = 0. Dann wird ja eine Konstante integriert und folglich besteht der Raum aus linearen Funktionen.
Kann man das so sagen oder stimmt das nicht?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein eben nicht, L^0 enthält alle messbaren Funktionen, nicht nur jene, deren Integral endlich ist. Wie gesagt, dieser Raum ist nicht über Integrale definiert, ich habe das gefühlt, du hörst mir nicht richtig zu, das habe ich doch genau so oben schon geschrieben.
 
 
Sirob Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, jetzt verstehe ich dich besser. Der L^p-Raum wird für 1
mit Messbarkeit und Endlichkeit des Integrals definiert und p = 0 und p = sind Sonderfälle.
Danke für deine Antworten. Das hat mir sehr geholfen.
Lg
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