Paraboloid - Gleichung in analytischer Form

25.10.2018, 21:06

Saltydog

Paraboloid - Gleichung in analytischer Form

Hallo Matheboard,
ich verzweifle gerade an folgender Fragestellung:

$\begin{eqnarray*} \vec{r}(u,v)= \begin{pmatrix} v*cos(u) \\ v*sin(u) \\ 2-v^2 \end{pmatrix} , 0\leq u\leq 2\pi , 0\leq v\leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

a) Wie lautet die Gleichung in analytischer Form z = f(x, y) (Hinweis: man bilde x² + y²)? Man
skizziere damit die Fläche.
b) Man beschreibe die Koordinatenlinien $\begin{eqnarray*} \vec{r}_u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{r}_v \end{eqnarray*}$
c) Welchen Winkel schließen die Tangentenvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{t}_u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{t}_v \end{eqnarray*}$ ein?

Ich habe verstanden, dass $\begin{eqnarray*} \vec{r}(u,v) \end{eqnarray*}$ in der parametrischen Form gegeben ist. Ich habe keine Ahnung was mit analytischer Form gemeint ist und ich weiß nicht wie ich von der parametrischen Form auf x und y komme.

1) Bitte helft mir die Aufgabe zu verstehen!!!
2) Eventuell könntet ihr mir ja noch eine andere Beispielaufgabe (wie die oben) stellen, damit ich weiß dass ich den Weg verstanden habe?

Vielen Dank im Vorraus

LG Salty

25.10.2018, 21:56

Elvis

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Hast du den Hinweis nicht gelesen oder weißt du nicht, dass $\begin{eqnarray*} cos ^2 +sin ^2 =1 \end{eqnarray*}$ ist?

25.10.2018, 21:58

Leopold

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"Analytische Form" ist ein etwas merkwürdiger Ausdruck. Gemeint ist wohl, eine Beziehung zwischen den Koordinaten $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ eines Paraboloids in Funktionsform $\begin{align*} z = f(x,y) \end{align*}$ herzustellen.

Du kennst das sicher aus der Analytischen Geometrie. Dort kann man die Parameterdarstellung einer Ebene in eine Koordinatenform überführen. Und hier sollst du das mit einem Paraboloid tun. Die Parameter sind $\begin{align*} u,v \end{align*}$ . Und diese sind aus den drei Gleichungen

$\begin{align*} x = v \cos u \, , \ \ y = v \sin u \, , \ \ z = 2 - v^2 \end{align*}$

zu eliminieren. Ein Tip ist ja gegeben. Damit kannst du aus den ersten beiden Gleichungen $\begin{align*} u \end{align*}$ eliminieren. Und damit kannst du schließlich in die dritte Gleichung gehen und $\begin{align*} v \end{align*}$ eliminieren.

25.10.2018, 22:50

Saltydog

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@Elvis: Danke für deine verständnisvolle Antwort.

@Leopold: Ich versuchs mal:

1) Wir wissen aus der Aufgabenstellung: $\begin{eqnarray*} x=v*cos(u), y=v*sin(u), z=2-v^2 \end{eqnarray*}$

2) Laut Formelsammlung gilt für ein Paraboloid: $\begin{eqnarray*} z=x^2+x^2 \end{eqnarray*}$ (das ist der Tipp in der Aufgabenstellung, richtig?)

3) daraus folgt: $\begin{eqnarray*} z=(v*cos(u))^2+(v*sin(u))^2=v^2*cos(u)^2+v^2*sin(u)^2=v^2 \end{eqnarray*}$

4) aus $\begin{eqnarray*} z=v^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} v^2=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

5) Wir setzen $\begin{eqnarray*} v^2=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} z=2-v^2 \end{eqnarray*}$ ein und erhalten:
$\begin{eqnarray*} z=2-(x^2+y^2)=2-x^2-y^2 \end{eqnarray*}$

Frage: bedeutet das im Umkehrschluss, dass für den Paraboloid gilt:
$\begin{eqnarray*} \vec{r}(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ 2-x^2-y^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

26.10.2018, 07:26

Leopold

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Zitat:

Original von Saltydog
1) Wir wissen aus der Aufgabenstellung: $\begin{eqnarray*} x=v*cos(u), y=v*sin(u), z=2-v^2 \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Original von Saltydog (Schreibfehler bei Formel korrigiert)
2) Laut Formelsammlung gilt für ein Paraboloid: $\begin{eqnarray*} z=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ (das ist der Tipp in der Aufgabenstellung, richtig?)

Das mag ja sein, daß das für irgendein Paraboloid dieser Welt gilt. Gilt das aber auch für deines? Das ist so, als würdest du in der Schule sagen: Laut Formelsammlung gilt für eine Parabel $\begin{align*} y = x^2 \end{align*}$ . Was ist aber, wenn deine Parabel $\begin{align*} y = 3x^2 - 4 \end{align*}$ lautet?
Kurzum: Davon darfst du nicht ausgehen.

Gemäß Tip sollst du einfach nur $\begin{align*} x^2 + y^2 \end{align*}$ berechnen. Die Rechnung geht wie bei dir in 3). Allerdings darfst du nicht annehmen, daß das $\begin{align*} z \end{align*}$ ist. Also nur

$\begin{align*} x^2 + y^2 = v^2 \end{align*}$

Dann verwendest du die dritte Koordinate $\begin{align*} z = 2 - v^2 \end{align*}$ und ersetzt hierin $\begin{align*} v^2 \end{align*}$ , also

$\begin{align*} z = 2 - \left( x^2 + y^2 \right) \end{align*}$

Und das war es auch schon.

Dein Fehler war also, die Gleichung $\begin{align*} z = x^2 + y^2 \end{align*}$ aus deiner Formelsammlung ins Spiel zu bringen. Das bringt Konfusion in die gesamte Argumentation und macht sie widersprüchlich. Es hätte dir auch auffallen müssen, daß nicht gleichzeitig $\begin{align*} z = x^2 + y^2 \end{align*}$ und $\begin{align*} z = 2 - x^2 - y^2 \end{align*}$ gelten kann. Ebenso wie, um das Beispiel der Schulparabel noch einmal ins Spiel zu bringen, nicht gleichzeitig $\begin{align*} y = x^2 \end{align*}$ und $\begin{align*} y = 3x^2 - 4 \end{align*}$ gelten kann.

Vielleicht zeigt eine Graphik in deiner Formelsammlung, wie das Paraboloid $\begin{align*} z = x^2 + y^2 \end{align*}$ im Koordinatensystem liegt. Kannst du dir erschließen, wie jetzt dein Paraboloid $\begin{align*} z = 2 - x^2 - y^2 \end{align*}$ liegt?

Und zu deiner letzten Frage: Das ist eine alternative Parameterdarstellug des Paraboloids.

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