Operatornorm

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linop Auf diesen Beitrag antworten »
Operatornorm
Meine Frage:
Kurze Frage: Ich habe einen linearen Operator der von L2 ([0,2]) auf L2([0,2]) abbildet mit Tf(x) = h(x)f(x) mit
h(x) = 1 (x aus [0,1]), ( 0 (x aus [1,2])
Nun möchte ich die Operatornorm bestimmen, komme aber auf kein wirkliches Ergebnis. Dass der Operator beschränkt ist konnte ich jedoch zeigen. Irgendwelche Ansätze?
LG


Meine Ideen:
.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz sicher bin ich nicht, aber ich versuche mal mein Glück. (Alles dafür notwendige habe ich gerade eben von Wikipedia gelernt.)





Wenn die Norm von f gleich 1 ist, kann doch die Norm der auf ein halbes Intervall eingeschränkten Funktion nicht grösser werden. Wenn wir gleich mit einem eingeschränkten f der Norm 1 anfangen, dann ist das die maximal mögliche Norm des Operators. Stimmt das, oder habe ich recht, oder nicht ?
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Für den zweiten Teil kann man sich auch auf Th=h berufen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, war ja gar nicht so schwer. f=h=Th ist ein perfekt einfaches Beispiel mit Norm 1.
linop Auf diesen Beitrag antworten »

die norm vom operator ist aber kleiner als 1 oder? kann man da eine „Testfunktion“ mit norm 1 verwenden und mit dieser rechnen? denn weil wir ja nur das halbe intervall übrig haben erhalte ich eine norm von 1/sqrt(2) wenn ich mit so einer testfunktion rechne
linop Auf diesen Beitrag antworten »

weil eigentlich geht ja das integral von 0 bis 2 oder nimmt man da aufgrund des supremums an, dass der gesamte beitrag von f zur norm in [0,1] liegt? weil streng genommen entspricjt das integral von 0 bis 1 ja nicht meiner norm im Raum L2([0,2])
 
 
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Es ist schlichtweg hf=0 auf dem Intervall (1,2]
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal ganz sorgfältig rechnen: .
Grund : Intervall [0,1] Länge =1, Höhe von h =1, Quadrat mit Seitenlänge 1 hat die Fläche 1*1=1 .
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