Charakteristisches Polynom Formel - Beweis

26.10.2018, 10:59	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom Formel - Beweis Hallo zusammen, ich würde gerne bei folgendem Beweis eine elegante Lösung finden: Sei $\begin{eqnarray} K \in \{\mathbb Q , \mathbb R , \mathbb C \} \end{eqnarray}$ Es sei $\begin{eqnarray} A \in M_3(K) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass das charakteristische Polynom von A gegeben ist durch: $\begin{eqnarray} -X^3+ Spur(A)X^2-\frac{1}{2}(Spur(A)^2 - Spur(A^2))X+det(A) \end{eqnarray}$ Man könnte sich ja jetzt einfach eine beliebige Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hernehmen, dann alles ausrechnen und in gewünschte Form bringen. Aber ich frage mich: Kann man das nicht effizienter/eleganter lösen ? LG Snexx_Math
26.10.2018, 12:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist das auf diese 3 speziellen Körper beschränkt ? Gilt das nicht immer ? Rechne mal durch und zeige, was du herausbekommst. Es würde mich interessieren, an welcher Stelle etwas anderes als Körperaxiome benutzt wird (wenn überhaupt).
26.10.2018, 12:38	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} det(\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} -XE_n )= det(\begin{pmatrix} a-X & b & c \\ d & e-X & f \\ g & h & i-X \end{pmatrix} )<br /> = (a-X)(e-X)(i-X)+bfg+dhc-cg(e-X)-fh(a-X)-bd(i-X) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (ae-aX-eX+X^2)(i-X)+bfg+dhc-cge+cgX-fha+fhX-bdi+bdX \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = aei-aeX-aiX+aX^2-eiX+eX^2+iX^2-X^3+bfg+dhc-cge+cgX-fha+fhX-bdi+bdX \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-X^3+aX^2+eX^2+iX^2-aeX-aiX-eiX+cgX+fhX+bdX+aei+bfg+dhc-cge-fha-bdi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-X^3 +(a+e+i)X^2+(-ae-ai-ei+cg+fh+bd)X+aei+bfg+dhc-cge-fha-bdi \end{eqnarray}$ Es gilt zusätzlich: $\begin{eqnarray} det(A)=aei+bfg+dhc-ceg-fha-bdi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^2 = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} a^2+bd+cg & ab+be+ch & ac+ic+bf \\ ad+de+fg & bd+e^2+fh & cd+ef+if \\ ag+ig+dh & bg+eh+ih & cg+fh+i^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Spur(A)=a+e+i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Spur(A)^2= (a+e+i)^2=a^2+ae+ai+e^2+ea+ei+ia+ie+i^2=a^2+2ae+2ai+2ei+e^2+i^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Spur(A^2)=a^2+bd+cg +bd+e^2+fh +cg+fh+i^2=a^2 +2bd+2cg+2fh+e^2+i^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Spur(A)^2-Spur(A^2)= a^2+2ae+2ai+2ei+e^2+i^2-(a^2 +2bd+2cg+2fh+e^2+i^2)=2ae+2ai+2ei-2bd-2cg-2fh \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\cdot (Spur(A)^2-Spur(A))= ae+ai+ei-bd-cg-fh \end{eqnarray}$ Also folgt: $\begin{eqnarray} =-X^3 +(a+e+i)X^2+(-ae-ai-ei+cg+fh+bd)X+aei+bfg+dhc-cge-fha-bdi = -X^3+ Spur(A)X^2-\frac{1}{2}(Spur(A)^2-Spur(A^2))X+det(A) \end{eqnarray}$ Also hab ich es jetzt doch so unelegant bewiesen Und es könnte gut sein, dass sich $\begin{eqnarray} K\in\{\mathbb Q , \mathbb R ,\mathbb C\} \end{eqnarray}$ auf die Aufgabe davor bezieht , bei der ich auch noch nicht ganz weiß wie ich sie lösen möchte
26.10.2018, 14:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"Mühsam ernährt sich das Eichhörnchen." Ich hätte es auch nicht besser gekonnt. Für Körper der Charakteristik 2 muss man wohl eine Ausnahme machen, weil man da nicht durch 2 teilen kann, aber sonst war's das. Ich weiß nur, dass Spur und Determinante im char. Pol. immer auftreten.

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