Beweis einer Mengenidentiät

27.10.2018, 18:02	seed3r	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Mengenidentiät Folgende Mengenidentität soll bewiesen oder widerlegt werden: $\begin{eqnarray} (A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B) \end{eqnarray}$ Mein Ansatz wäre, dass ich mit der linken Seite beginne und hierfür die Definitionen des kartesische Produkts und des Durchschnitts heranziehe und schaue, ob ich die so umformen kann, dass die rechte Seite herauskommt. Danach die rechte Seite so probieren umzuformen, dass die linke Seite herauskommt. Linke auf rechte Seite umformen ("=>"): $\begin{eqnarray} <br /> (A \times B) \cap (B \times A)<br /> (x \in A \land y \in B) \land (x \in B \land y \in A)<br /> \end{eqnarray}$ Frage 1: Welche Operationen sind hier noch erlaubt? Darf ich die Elemente beliebig aneinanderreihen? Wohl eher nicht? Rechte auf Linke Seite umformen ("<="): $\begin{eqnarray} (A \cap B) \times (A \cap B)<br /> (x \in A \land x \in B) \land (y \in A \land y \in B) \end{eqnarray}$ Frage 2: Im Prinzip wieder die gleiche Frage wie oben - welche Operationen sind hier nun erlaubt bzw. wie kann ich das Beispie lösen? Wenn mir jemand einen Denkanstoß geben bzw. helfen könnte, wäre das super!
27.10.2018, 19:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf beiden Seiten stehen cartesische Produkte von Mengen. Beim Beweis der Mengengleichheit musst du also mit Paaren von Elementen beginnen, nicht mit einzelnen Elementen aus den Mengen A und B.
27.10.2018, 22:32	seed3r	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis: Dann habe ich für die linke Seite: $\begin{eqnarray} ((x,y) \in A \times B) \cap ((x,y) \in B \times A) \end{eqnarray}$ und für die rechte Seite: $\begin{eqnarray} (x,y) \in (A \cap B) \times (A \cap B) \end{eqnarray}$ Aus diesen beiden folgenden aber dann die Behauptungen, die ich schon angeschrieben habe. Ich weiß leider nicht, inwiefern mir das nun weiterhilft
27.10.2018, 23:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist auf der linken Seite wieder falsch. Was soll denn das heißen: (x, y) liegt in einer Menge Durchschnitt (x, y) liegt in einer Menge? Das erste war total falsch, es wäre kein Fortschritt, wenn das total falsche wieder aus dem falschen folgen würde. Du darfst nicht etwas falsches schreiben und du musst aus etwas richtigem korrekte logische Schlüsse ziehen. Du bist nicht sehr weit weg von der Wahrheit, es passt nur noch nicht ganz zusammen.
28.10.2018, 00:52	seed3r	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, das sollte nicht Durchschnitt auf der linken Seite, sondern ein \land sein. Da ist mir wohl ein Fehler unterlaufen
28.10.2018, 07:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche es noch einmal und benutze logische Junktoren $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ namens Äquivalenz oder $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ alias Implikation. Du weißt doch, dass 2 Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente enthalten. $\begin{eqnarray} X=Y\Leftrightarrow (z\in X \Leftrightarrow z\in Y)\Leftrightarrow ((z\in X\Rightarrow z\in Y)\wedge (z\in Y\Rightarrow z\in X))\Leftrightarrow (X\subseteq Y\wedge Y\subseteq X) \end{eqnarray}$ . Es ist auch immer sinnvoll, die Definition der Mengen aufzuschreiben, bevor man zu beweisen versucht, dass sie gleich sind. Während des Beweises kann und muss man dann diese Definitionen benutzen. Ein instruktives Beispiel aus der Arithmetik: $\begin{eqnarray} 1+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ ist ebenso sinnlos wie $\begin{eqnarray} 2+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ Richtig sind dagegen die wahren Aussagen : Für die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} 1,2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} 1+1=2,2+2\ne 5 \end{eqnarray}$ Als wir sprechen gelernt haben, hat man uns beigebracht, in ganzen Sätzen zu sprechen. Das gilt auch für mathematische Sätze und Beweise.
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