Beispiele zur Definition des Spektrums

27.10.2018, 21:56	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiele zur Definition des Spektrums Hallo MathematikerInnen, ich arbeite gerade an einem Beispiel in der Prädikatanlogik zum Spektrum. Dabei verwende ich folgende Definition: Für jede geschlossene Formel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ (also jede Formel ohne freie Variablen) sei das Spektrum \(sp(\phi)\) definiert als die Menge aller natürlichen Zahlen n, sodass es ein endliches Modell von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ mit genau n Elementen gibt. (Dabei heißt M ein Modell von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , wenn für alle Belegungen b die Gleichung $\begin{eqnarray} \hat{b}(\phi)=1 \end{eqnarray}$ gilt.) 1.) Ich möchte nun Folgendes zeigen: Ist $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ eine Formel, in der das Gleichheitszeichen nicht vorkommt, dann gilt: Wenn $\begin{eqnarray} k \in sp(\phi) \end{eqnarray}$ und n>k, dann ist auch $\begin{eqnarray} n \in sp(\phi) \end{eqnarray}$ . Intuitiv ist mir klar, dass das gilt, ich weiß nur nicht, wie man es formal schön beweist. Meine Idee ist, einen indirekten Beweis zu führen, also anzunehmen, dass n>k und n nicht im Spektrum ist und daraus zu folgern, dass dann auch k nicht im Spektrum sein kann, dass es also dann auch kein endliches Modell von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ mit genau k Elementen geben kann. Nur wie darf man das argumentieren? 2.) Zudem suche ich eine Formel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , in der das Gleichheitszeichen nicht vorkommt, sodass sp $\begin{eqnarray} (\phi \end{eqnarray}$ ) = $\begin{eqnarray} \{n \in \mathbb{N}: n > 5\} \end{eqnarray}$ . Hierbei scheitere ich daran, dass ich mir nicht klar ist, was man an Relaitonssymbolen verwenden darf. Dürfen wir uns einfach ein beliebiges (z.B. 6-stelliges) Relationssymbol definieren? 3.) Zuletzt möchte ich nun zeigen, dass die Menge aller Spektren (für beliebige prädikatenlogische Sprachen) unter Durchschnitten, Vereinigungen und Komplementen abgeschlossen ist. Zu diesem Punkt fehlt mir leider noch jegliche Idee. Zur Durchschnittseigenschaft habe ich allerdings den Hinweis, dass man erklären soll, dass, wenn A = sp( $\begin{eqnarray} \phi_1 \end{eqnarray}$ ) und B = sp( $\begin{eqnarray} \phi_2 \end{eqnarray}$ ), man o.B.d.A. annehmen darf, dass die Sprachen zu $\begin{eqnarray} \phi_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi_2 \end{eqnarray}$ disjunkt sind. Falls ihr den ein oder anderen Tipp dazu habt, würde ich mich sehr freuen!
27.10.2018, 22:51	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Internet ist das Zeigen der Komplenteigenschaft in 2) ein ungelöstes Problem. Es geht also nur um die Vereinigungs- und Durchschnittseigenschaft. Hat denn jemand eine Idee, wie 1), 2) oder 3) funktioniert? Oder kann mir jemand erläutern, was es bedeutet (weil das kommt in der Definition des Spektrums ja vor), dass ein Modell (auch "Struktur" genannt) k Elemente hat? Was alles zählt zu diesen "Elementen" des Modells?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »