Körper

28.10.2018, 00:45

georg2000

Körper

Hallo die Angabe im Bild ,
Die Verknüpfung + Funktioniert soweit ich es gemacht habe , jedoch bei * hab ich so meine Bedenken .

Ich brauche : https://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra) .

Assoziativ , Kommutativ , Neutrales Element , Inverses Element .

bevor man aber alles nach weist , gibt es eine Stelle die nicht stimmt ? dann spare ich etwas .
zu b)
ich verstehe nicht ganz ist x hier ein zahlenpaar derart $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$
sodass $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2)(x_1,x_2)=2 \end{eqnarray*}$ sein soll ?

28.10.2018, 01:05

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper

Zitat:

Original von georg2000
...
zu b)
ich verstehe nicht ganz ist x hier ein zahlenpaar derart $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$
sodass $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2)(x_1,x_2)=2 \end{eqnarray*}$ sein soll ?

Ja, so ist es.
Mittels der angegebenen Definition der 2. Verknüpfung ("Multiplikation") erhältst du dann 2 Gleichungen in x1 und x2

mY+

28.10.2018, 01:15

georg2000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper
Okay so hab ich es mir gedacht ;
dann sei X=(x,y)
und $\begin{eqnarray*} (x,y)(x,y)=(x^2+2y^2,2xy) \end{eqnarray*}$
dh es muss gelten :

$\begin{eqnarray*} x^2+2y^2=2 \end{eqnarray*}$ (1)
$\begin{eqnarray*} 2xy=0 \end{eqnarray*}$ (2)
wenn x und y beide zugleich null Sind habe ich in (1) keine Lösung .
falls x=0 und y nicht 0 dann bekomme ich
y= $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$

falls y=0 und x nicht 0 dann :
kann dies keine Lösung sein hier müsste $\begin{eqnarray*} x=\sqrt2 \end{eqnarray*}$ aber man darf nur rationale Zahlen verwenden.

es gibt dann die paare $\begin{eqnarray*} (0,1) , (0,-1) \end{eqnarray*}$

das 2te Beispiel analog nur mit 3 ;

$\begin{eqnarray*} x^2+2y^2=3 \end{eqnarray*}$ (1)
$\begin{eqnarray*} 2xy=0 \end{eqnarray*}$ (2)

falls $\begin{eqnarray*} x=y=0 \end{eqnarray*}$ keine Lösung
falls $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} y=\sqrt(3/2) \end{eqnarray*}$ was nicht in den rationalen zahlen liegt .
falls $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
dann $\begin{eqnarray*} x=\sqrt3 \end{eqnarray*}$ auch keine rationale Zahl.

in Summe keine Lösung also.

passt das?

falls ja kannst du mir bei a) weiterhelfen vl gibt es ja ein axiom was nicht erfüllt ist ..

28.10.2018, 01:32

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, b) stimmt so.
-----
Für die Körpereigenschaft musst du vor allem auf das neutrale und inverse Element der 2. Verknüpfung untersuchen.

Was hast du hinsichtlich dessen schon herausgefunden bzw. wo besteht noch ein Problem?

Kontr.
[ $\begin{eqnarray*} \text{2. Verknüpfung } \cdot : N=(1;0); \ \text{inv. Element }(a^*;b^*)=\left(\frac a {a^2-2b^2};\frac {-b} {a^2-2b^2}\right) \end{eqnarray*}$ ]

mY+

28.10.2018, 02:25

georg2000

Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen es gäbe ein neutrales 1" element bezüglich *
dann muss gelten für jedes $\begin{eqnarray*} c \in K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1*c=c \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} 1:=(a,b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=(x,y) \end{eqnarray*}$
es folt wieder :
$\begin{eqnarray*} ax+2by=x \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} ay+bx=y \end{eqnarray*}$

ich stelle (1) um :
$\begin{eqnarray*} a=(x-bx)/x=1-bx/y \end{eqnarray*}$

setze ich es ein,bekomme ich :
$\begin{eqnarray*} x=(1-bx/y)x+2by=x-bx^2/y+2by=b(x^2/y+2y)+x \end{eqnarray*}$ hier fällt x weg und es bleibt nur noch
$\begin{eqnarray*} 2by=bx^2/y \end{eqnarray*}$
daraus folgt nur das $\begin{eqnarray*} x^2=y^2 ist \end{eqnarray*}$
... heist das es gibt mehrere Neutrale elemente?

meine Gleichungen stimmen mit deinen a=1 und b=0 hmm und dein inverses gibt es auch ..

28.10.2018, 02:44

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, natürlich gibt es hier nicht mehrere neutrale Elemente. Aber du hast dich bereits beim Ansatz verrechnet.
Richtig muss er lauten:

ax + 2by = a
ay + bx = b
------------------

mY+

P.S.: Es ist schon sehr spät, ich gehe mal auf Matratzenhorchdienst. Morgen bei Bedarf weiter ...

28.10.2018, 02:54

georg2000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke mal , ich schaue mir das morgen nochmal an .
gute nacht dir ! Wink

28.10.2018, 13:12

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Hinweis: Beim inversen Element steht im Nenner $\begin{eqnarray*} a^2-2b^2 \end{eqnarray*}$
Untersuche, ob dieser in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ Null werden kann ...

mY+

28.10.2018, 13:23

georg2000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mythos und guten Morgen /Mittag ,

der Nenner kann nicht 0 werden da ;
für ein q $\begin{eqnarray*} =a/b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2-2b^2=0 \end{eqnarray*}$
die gleichung zu :
$\begin{eqnarray*} a^2/b^2=q^2=2 \end{eqnarray*}$ führen würde und diese ist für beliebiges q aus den rationalen Zahlen nicht lösbar ist .

also existieren Neutrales und Inverses Element .
Bleiben noch Distributivgesetze mit + und *
also $\begin{eqnarray*} a*(b+c) \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} (b+c)*a \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

28.10.2018, 13:26

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, guten Tag! Ja, so ist es! smile

mY+

28.10.2018, 14:21

georg2000

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ,die kann ich mit den Definitionen von + und * auch nachrechnen :
$\begin{eqnarray*} (a1,b1)((a2,b2)+(a3,b3))=(a1b1)(a2+a3,b2+b3)=(a1(a2+a3)+2b1(b2+b3)<br /> ,a1(b2+b3)+b1(a2+a3)=(a1a2+2b1b2+a1a3+2b1b3,a1b2+b1a2+a1b3+b1a3)=<br /> (a1,b1)(a2,b2)+(a1,b1)(a3,b3) \end{eqnarray*}$

das andere geht analog dazu .

also ist K ein Körper oder?

28.10.2018, 16:42

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht so aus! Big Laugh

mY+

28.10.2018, 17:35

georg2000

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe !!
Wink

Neue Frage »

Antworten »

Körper

Verwandte Themen