Normalverteilung Erwartungswert Schreibweise mit phi

28.10.2018, 15:34	Izlop	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilung Erwartungswert Schreibweise mit phi Meine Frage: Hallo. Ich verstehe die Mathematische formel nicht welche ich im Anhang sende. Integral (0 bis unendlich) xf(x)dx= (den rest müsst ihr euch im Bild anschauen, da alles griechische Buchstaben sind. Ich wäre über Hilfe extrem Dankbar. Wie komme ich auf die Formel mit den griechischen Buchstaben? Meine Ideen: Ich habe leider keine Ahnung. Ich habe mir 3 Stunden den Kopf zerbrochen und bin kein Stück weitergekommen. Ich bitte um Hilfe
28.10.2018, 15:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du hast einen Gutteil der Informationen weggelassen, aber vermutlich kann man es so rekonstruieren: $\begin{eqnarray} \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray}$ ist die Dichte der Standardnormalverteilung $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \Phi(x) \end{eqnarray}$ die zugehörige Verteilungsfunktion, und $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{\sigma} \phi\left( \frac{x-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray}$ ist die Dichte der Normalverteilung $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ . Und dann muss man eben einfach mal rechnen - das fällt nicht vom Himmel, wenn man nur draufschaut: Substitution $\begin{eqnarray} z = \frac{x-\mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ ergibt unter Beachtung von $\begin{eqnarray} \phi'(z)=-z\phi(z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{\infty} x\cdot f(x) ~ \dd x &=& \frac{1}{\sigma} \int\limits_0^{\infty} x\cdot \phi\left( \frac{x-\mu}{\sigma}\right) ~ \dd x = \int\limits_{-\frac{\mu}{\sigma}}^{\infty} (\mu+z\sigma)\cdot \phi(z) ~ \dd z = \bigg[\mu\Phi(z)-\sigma\phi(z)\bigg]_{z=-\frac{\mu}{\sigma}}^{\infty}\\ &=& \mu\left( \Phi(\infty)-\Phi\left(-\frac{\mu}{\sigma}\right)\right) - \sigma\left( \phi(\infty)-\phi\left(-\frac{\mu}{\sigma}\right)\right) = \mu\left( 1-\Phi\left(-\frac{\mu}{\sigma}\right)\right) + \sigma\phi\left(-\frac{\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray}$ . Das andere Integral geht so ähnlich, bzw. gleich über den bekannten Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ der Normalverteilung $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ gemäß $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^0 x\cdot f(x) ~ \dd x = \mu - \int\limits_0^{\infty} x\cdot f(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ .

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