Unendliche Reihen

28.10.2018, 19:01

Schnurri

Unendliche Reihen

Meine Frage:
Liebes Matheboard!

Bei folgender Aufgabe würde ich Hilfe benötigen:

Wir springen einen Meter nach vorne und die Hälfte davon zurück.Von der letzten Sprunglänge aus springen wir die Hälfte nach vorne und die Hälfte wieder zurück. Angenommen, wir wiederholen das unendlich oft.

Welche Strecke legen wir durch die Sprünge zurück, wenn wir sämtliche Sprunglängen zusammenzählen?

Meine Ideen:
Also, ich dachte mir, dass hierbei wahrscheinlich die konvergente geometrische Reihe ziehlführend ist,nur bin ich mir nicht sicher, ob ich sie richtig anwende. Kann ich das Ganze zusammenfassen als:

$\begin{eqnarray*} 1+\sum\limits_{k=0}^{\infty } (\frac{1}{2})^{k} \end{eqnarray*}$

(Die + 1 für den ersten Meter den ich zurücklege).

Da 0<q<1 gilt könnte man doch den Grenzwert finden durch:

$\begin{eqnarray*} 1+ \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^{n} (\frac{1}{2})^{k} = 1+ \frac{1/2}{1/2}=2 \end{eqnarray*}$

D.h ich erreiche im Unendlichen irgenwann 2 m?

Vielen Dank im Voraus.

LG

28.10.2018, 20:54

mYthos

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Ja, das ist im Wesentlichen richtig. smile

Allerdings erreichst du die 2 m nicht im Unendlichen, sondern nach unendlich vielen Sprüngen.
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Ein ähnliches Szenario ist jenes eines senkrecht auf den Boden aufgeschlagenen Balles, der nach jedem Aufschlag nur noch eine Höhe von 9/10 der vorigen Höhe erreicht. Welchen (theoretischen) Weg legt der in einer Höhe von 1 m über dem Boden losgelassene Ball zurück, bis er letztendlich auf dem Boden liegen bleibt?

In diesem Zusammenhang verweise ich auch gerne auf das Paradoxon des Xenon von Eleia (Achilles und die Schildkröte).

mY+

28.10.2018, 21:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Schnurri
$\begin{eqnarray*} 1+\sum\limits_{k=0}^{\infty } (\frac{1}{2})^{k} \end{eqnarray*}$

Stimmt so nicht ganz, richtig ist $\begin{eqnarray*} 1+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray*}$ . Die konkrete Rechnung ist dann allerdings wieder richtig, weil du dann doch nicht mit der falschen Formel arbeitest.

Und noch eine Ergänzung: Falls nicht nach

Zitat:

Original von Schnurri
Welche Strecke legen wir durch die Sprünge zurück, wenn wir sämtliche Sprunglängen zusammenzählen?

gefragt wird, sondern nach der erreichten Zielposition, dann ist die geometrische Reihe mit Parameter $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ zu verwenden.

28.10.2018, 21:09

Schnurri

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Vielen Dank ihr beiden!

Aja danke HAL 9000, da muss ich noch präziser werden smile

28.10.2018, 21:16

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Das zeigt schön die Auswirkung, wenn man ein wankelmütiges Management hat: Man geht einen weiten Weg (2) und kommt doch nicht weit (2/3) Big Laugh

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