Zerlegung von Mengen

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Urbild09 Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung von Mengen
Hallo

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Gegeben sei die Abbildung f : X ---> Y

Sei eine Zerlegung von Y. Zu zeigen ist, dass eine Zerlegung von X ist

Intuitiv scheint das ja recht klar zu sein, dass wenn Y durch die Vereinigung aller komplett zerlegt ist, somit auch die entsprechenden Urbilder ganz X vollständig zerlegen bzw. abdecken, da eine Funktion ja als eindeutige Zuordnung jedem Element aus X auch ein passendes Element aus Y zuordnet.


Ich haben das Wort "komplett" extra hervorgehoben, da das glaub ich ausschlaggebend ist, oder ?
Ansonsten würde man ja unter Umständen nicht alle Urbilder in X treffen.
Daher dachte ich auch mal zeitweise an einen indirekten Beweis durch Widerspruch:

Angenommen ist keine Zerlegung von X.
Damit würde es ja (mindestens) eine Menge geben, die von irgendeinem nicht durch getroffen wird.
Jedoch würde wiederum auf irgendein in Y abgebildet werden, weil Y durch die ganzen ja vollständig zerlegt ist.

Würde das schon als Widerspruch zur Zerlegung von Y durch reichen ? Ich bin mir da unsicher. verwirrt


Für einen direkten Beweis könnte ich jetzt auch ein großes Vereinigungszeichen vor setzen und das dann mit X gleichsetzen, aber das wird wohl eher nicht als Beweis durchgehen. Big Laugh

Wie geht man aber an einen solchen Zerlegungs-Beweis üblicherweise heran ?

Ist bei meinen Ansätzen schon etwas zielführendes dabei ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die Urbilder X überdecken ist dir anscheinend klar. Diese Ueberdeckung ist eine Zerlegung, wenn je 2 Urbilder disjunkt sind. Das ist leicht zu zeigen.
Urbild09 Auf diesen Beitrag antworten »

Mal sehen ob auch mir das leicht fallen wird:

Nehmen wir also zwei Urbilder und mit und
Dann müsste gelten damit deine erwähnte Disjunktheit vorliegt.
Bildet man dann wiederum folgt, dass dieser Schnitt laut Voraussetzung leer sein muss aufgrund der in der Aufgabe vorausgesetzten Zerlegung von Y, wodurch ebenso rückwirkend gilt.

Kommt das so hin ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe das nicht. Um die Disjunktheit der Urbilder zu zeigen, würde ich ein Element mit abbilden.
Urbild09 Auf diesen Beitrag antworten »

Sei also



Nach der Abbildung durch f demnach





wegen der vorausgesetzten Zerlegung von Y

Ist es so korrekt ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nur der Anfang ist richtig, beim Rest hast du geschrieben ohne genug zu denken (wozu habe ich gesagt, ich würde x mit f abbilden ?). Du hast auch die notwendigen Quantoren vergessen (wozu habe ich gesagt, dass je 2 Urbilder disjunkt sein müssen ?). Ich empfehle stets, bei Beweisen keine Äquivalenzen sondern Implikationen zu verwenden. Umkehrungen sind nie selbstverständlich, und erfordern immer zusätzliches Nachdenken. In einem Beweis muss man die Behauptung beweisen, nicht mehr und nicht weniger. Die Logik des Beweises wird auch nicht klar, es bietet sich ein Widerspruchsbeweis an.

Hier schlage ich folgenden Beweis vor:

Behauptung:
Beweis: Annahme Widerspruch ! qed
 
 
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