Doppelsumme mit Binomialkoeffizienten

29.10.2018, 16:45

Schnurri

Doppelsumme mit Binomialkoeffizienten

Meine Frage:
Liebes Matheboard!

Bei folgender Vereinfachung einer Doppelsumme würde ich Hilfe brauchen:

Es sei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=i}^{n} \begin{pmatrix}i \\ j \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir ist klar wie ich vorgehen muss, wenn der Binomialkoeffizient mit einem anderen Faktor multipliziert wird, da ich die beiden Summen vertauschen und auseinanderziehen kann.

Kann ich im folgenden Fall einfach:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} \sum\limits_{i=0}^{j} \begin{pmatrix}j \\ i \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben und x=y=1 setzen?

Und die innere Summe ersetzen durch:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} 2^{j} \end{eqnarray*}$

und danach die geometrische Summenformel dafür verwenden?

Oder liege ich da komplett daneben?

Vielen Dank für eure Hilfe!

29.10.2018, 16:48

Schnurri

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oooh natürlich muss die Ausgangsdoppelsumme so lauten:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=i}^{n} \begin{pmatrix}j \\ i \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.10.2018, 17:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Schnurri
Kann ich im folgenden Fall einfach:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} \sum\limits_{i=0}^{j} \begin{pmatrix}j \\ i \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben

Das ist korrekt: Es wird ja über alle Indexpaare $\begin{eqnarray*} (i,j) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq i\leq j\leq n \end{eqnarray*}$ summiert, und wenn man als äußeren Index $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ wählt, kommt genau diese deine Doppelsumme heraus. Freude

Zitat:

Original von Schnurri
und x=y=1 setzen?

Bitte nicht in solchen Rätseln sprechen: Vermutlich redest du über $\begin{eqnarray*} (x+y)^j = \sum_{i=0}^j \binom{j}{i} x^i y^{j-i} \end{eqnarray*}$ , aber schreibe es dann auch bitte so! Du solltest nicht immer erwarten, dass du 5% hinwirfst und der Leser die fehlenden 95% des Gedankens ergänzt. unglücklich

Zitat:

Original von Schnurri
Und die innere Summe ersetzen durch:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} 2^{j} \end{eqnarray*}$

und danach die geometrische Summenformel dafür verwenden?

Ja.

29.10.2018, 17:07

Schnurri

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Danke für die schnelle Antwort HAL. smile

Da hast du natürlich vollkommen recht! Die Zeit muss man sich nehmen. Hammer

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