Die mir vorliegende Funktionsgleichung ist mir nicht nachvollziehbar

29.10.2018, 21:09	Dr.med.Banana	Auf diesen Beitrag antworten »
Die mir vorliegende Funktionsgleichung ist mir nicht nachvollziehbar Meine Frage: In einer Mathematikaufgabe in meinem Maschinenbau-Studium bin ich auf eine mir unbekannte Form von Funktionsgleichungen gestoßen. Diese Form habe ich in der Schule und in der Oberstufe bisher nie so gesehen und sie wirkt auf mich nun sehr abstrakt, da meiner Meinung nach kein richtiger Funktionsterm gegeben ist. Die Funktionen lauten nach der Aufgabenstellung wie folgt: Mit Latexcode weil das andere wahrscheinlich falsch dargestellt ist: t\in (0,\infty ) seien g:[-t,t]\Rightarrow \mathbb R und h:[-t,t]\Rightarrow \mathbb R Also falls ich den Code nicht richtig eingefügt habe (zwischen $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ verschwand er einfach) hier nochmal die erklärungen: für t element (0,unendlich) seien g:[-t,t]--> R und h: [-t,t]-->R (R soll Reelle Zahlen sein) Meine Ideen: Meine Idee war es bisher nun, nachdem ich mich selbst ein bisschen mit dem Thema beschäftigt habe, dass -t dann der Bereich von (-\infty,0) sein muss. Das würde dann soweit ich weiß bedeuten, dass einem Wert zwischen -\infty und \infty eine Reelle Zahl (\mathbb R) zugeordnet wird so ähnlich wie f(+/-\infty)=\mathbb R. Vielleicht liege ich hiermit aber auch grob falsch, da ich dieses Konzept der Darstellung der Funktionen noch nicht ganz begriffen habe. Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen und verzeiht mir meine Unwissenheit. Hier nochmal \infty soll unendlichkeitszeichen sein
29.10.2018, 21:16	Dr.med.Banana	Auf diesen Beitrag antworten »
für $\begin{eqnarray} t\in \left[0,\infty \right] \end{eqnarray}$ seien $\begin{eqnarray} g:\left[-t,t\right] \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h:\left[-t,t\right] \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ Funktionen. nMeine Idee war es bisher nun, nachdem ich mich selbst ein bisschen mit dem Thema beschäftigt habe, dass -t dann der Bereich von (- $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ,0) sein muss. Das würde dann soweit ich weiß bedeuten, dass einem Wert zwischen - $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ eine Reelle Zahl ( $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ) zugeordnet wird so ähnlich wie f(+/- $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Vielleicht liege ich hiermit aber auch grob falsch, da ich dieses Konzept der Darstellung der Funktionen noch nicht ganz begriffen habe. Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen und verzeiht mir meine Unwissenheit. Tut mir leid hier ist nochmal die richtige Version mit Latexcode eingefügt(Problem war beim erstellen der Frage verschwand der Latexcode einfach als ich auf Vorschau klickte ^^)
29.10.2018, 21:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
t liegt im offenen Intervall $\begin{eqnarray} (0,\infty) \end{eqnarray}$ , d.h. t ist größer als 0 und kleiner als unendlich. Also ist t eine ganz gewöhnliche positive reelle Zahl. Die Funktionen g und h sind auf dem abgeschlossenen reellen Intervall [-t, t] definiert und haben reelle Werte.
29.10.2018, 21:38	Dr.med.Banana	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay und was bedeutet dann dieses [-t,t] und was ist -t?
29.10.2018, 21:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenes reelles Intervall. Zum Beispiel für t=3 alle reellen Zahlen von -3 bis 3.
01.11.2018, 00:01	Dr.med.Banana	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wenn ich jetzt einen Wert t=3 habe dann wird also ein eine Zahl von -3 bis 3 einem speziellen R also einer reellen Zahl zugeordnet? Habe ich das richtig verstanden? Und wie wird die Zahl jetzt zugeordnet gibt es dort eine Bildungsvorschrift so wie zum Beispiel x^2 oder wie muss ich mir die Funktion jetzt vorstellen?
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01.11.2018, 09:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist eine reelle Variable, man kann $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ eine reelle Zahl größer als $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ zuweisen, z.B. $\begin{eqnarray} t=3 \end{eqnarray}$ , dadurch erhält man ein reelles Intervall $\begin{eqnarray} [-3,3] \end{eqnarray}$ , im allgemeinen erhält man ein variables reelles Intervall $\begin{eqnarray} [-t,t] \end{eqnarray}$ . Eine reellwertige Funktion $\begin{eqnarray} f:[-t,t]\Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ ordnet jeder reellen Zahl $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus dem Intervall $\begin{eqnarray} [-t,t] \end{eqnarray}$ genau eine reelle Zahl $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ als Funktionswert zu. $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist eine variable reelle Zahl, $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist eine variable reellwertige Funktion. Weil du bisher gut aufgepasst und verstanden hast, was ich sage, erkläre ich dir jetzt anhand von 3 Beispielen, wozu das gut ist. 1. In der Schule lernt man, dass die Summe von differenzierbaren Funktionen differenzierbar und die Summe von integrierbaren Funktionen integrierbar ist. Sind $\begin{eqnarray} f,g:[-t,t]\to \mathbb R \end{eqnarray}$ differenzierbar, so sind $\begin{eqnarray} f+g,f',g':[-t,t]\to \mathbb R \end{eqnarray}$ reellwertige Funktionen und es ist $\begin{eqnarray} (f+g)'=f'+g' \end{eqnarray}$ (genau so für integrierbar). 2. In der Wahrscheinlichkeitstheorie nennt man eine Funktion $\begin{eqnarray} f:[-t,t]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn $\begin{eqnarray} \int_{-t}^tf(x)dx=1 \end{eqnarray}$ ist. Satz: sind $\begin{eqnarray} f,g[-t,t]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ Wahrscheinlichkeitsdichten, dann ist auch $\begin{eqnarray} \frac {f+g}2 \end{eqnarray}$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Beweis: $\begin{eqnarray} \int_{-t}^t\frac {f+g}2dx=\int_{-t}^t\frac f 2dx+\int_{-t}^t\frac g 2 dx=\frac 1 2+\frac 1 2=1 \end{eqnarray}$ 3. In der Quantenfeldtheorie beschreibt man Quantenfelder durch Differentialgleichungen für (variable) komplexwertige Funktionen, die auf der vierdimensionalen Raumzeit (mit geeigneter Metrik) definiert sind. Die Lösungen sind Integrale über Raum und Zeit, in denen (variable) Operatoren und (variable) Funktionen auftreten. Für diese Gleichungen und Integrale kann man mit ganz viel Mühe Gesetzmäßigkeiten berechnen, das sind komplizierte Gleichungen, die man Naturgesetze nennt. Wir Mathematiker und Physiker glauben, dass die Welt so und nicht anders funktioniert, wir wissen nur nicht, warum das so ist.

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