Partielle Differentialgleichung: Methode der Charakteristiken

31.10.2018, 15:05	Lisamona4567	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Differentialgleichung: Methode der Charakteristiken Hallo! Ich hänge gerade beim folgenden Problem. Sei $\begin{eqnarray} b \in C_0^1 ( \mathbb{R}^d , \mathbb{R}^d ) , f \in C^1 ( \mathbb{R^d} ) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \partial_t u(t,x) = b(x) \nabla_x u(t,x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(t,x) = f(x) \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: Falls $\begin{eqnarray} u \in C^1 ( \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d ) \end{eqnarray}$ das Problem löst, so muss u(t,x) = f(X(t,x)) gelten, wobei X(t,x) der von b erzeugte Fluss ist, welcher durch $\begin{eqnarray} \partial_t X(t,x) = b(x) * \nabla_x X(t,x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X(t,x) = f(x) \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmt ist. Tipp: Betrachten Sie für festes (t,x) die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray} s \mapsto u(t+s , X(-s,x)) \end{eqnarray}$ . Ich bin mir nicht sicher, wie ich das Problem angehen kann, also hab ich mir gedacht ich versuche es mal mit der Methode der Charakteristiken zu lösen. Da bekomme ich: $\begin{eqnarray} \frac{ \partial t}{ \partial s} = 1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} t = s+c \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \frac{ \partial x}{ \partial s} = b(x) \Rightarrow \frac{1}{ b(x)} \partial x = \partial s \end{eqnarray*}$ und da kann ich nicht weiterrechnen da ich die Stammfunktion von 1/f(x) nicht berechnen kann. Könnte mir jemand bitte einen Ansatz geben?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »