Mathe-Olympiade Ungleichung 381324

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bunu Auf diesen Beitrag antworten »
Mathe-Olympiade Ungleichung 381324
Meine Frage:
Hallo,
ich komme bei der 4. Aufgabe nicht weiter.
https://www.mathematik-olympiaden.de/moev/moev_material/Aufgaben/38/2/A38132.pdf

Meine Ideen:
Ich habe die gängigsten Ungleichungen, jedoch ohne Erfolg ausprobiert.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Herzlich Willkommen!

Multipliziere links aus und nutze AM-GM. Dann steht es schon da.

Ich schiebe das mal in die Schulalgebra.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wirklich interessante an der Aufgabe ist ja dann eher die sorgfältig durchzuführende Angabe der Gleichheits-Tripel. Augenzwinkern
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja. Das sollte ja auch noch erledigt werden. Scheint mir aber auch nicht so schwierig zu sein. Sollten denn 5 Stück sein, wenn mich gerade nicht alles täuscht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich komme auch auf fünf. Da besteht schon Potential, das eine oder andere dieser Tripel zu übersehen. Augenzwinkern
bunu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, für die Hilfe. Ich bin auch auf 5 gekommen.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Multipliziere links aus und nutze AM-GM. Dann steht es schon da.


@ Mathema

Irgendwie sehe ich das nicht unmittelbar. Könntest du sagen, wie du das meinst?

Ich habe mir erst überlegt, warum es genügt, als positiv anzunehmen, und dann die zu beweisende Ungleichung durch dividiert. Mit



erhielt ich dann



Nun, daß für positive ist, kann man auf vielfältige Art zeigen, zum Beispiel durch Zurückführen auf die zweite binomische Formel. Man kann das natürlich auch so umformen, daß da die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel steht. Aber wie geht das direkt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

AMGM auf die sechs Werte angewandt ergibt

.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

gerne:



Ich hoffe es geht dir gut und wünsche dir ein schönes Wochenende!

edit: Huch, HAL war schneller. Auch dir einen lieben Gruß.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Gott, ja! Und ich habe immer nur in drei Summanden und der dritten Wurzel gedacht. Hammer

Danke euch beiden!
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
zum Beispiel durch Zurückführen auf die zweite binomische Formel.


Die sollte man auch direkt (dreimal) anwenden können, wenn man schreibt und nach links bringt. Damit wäre die Ungleichung auch gezeigt. Es gilt sicherlich .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist's, das "Offensichtliche", was ich gesucht habe. Manchmal liegt etwas direkt vor seinen Füßen, aber der Blick geht darüber hinweg.
Besonders gut kann man jetzt drei Bedingungen für das Gleichheitszeichen ablesen.
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