Erklärung: Aufteilung des Kreisbogens

01.11.2018, 14:54

0102mar

Erklärung: Aufteilung des Kreisbogens

Meine Frage:
Hey, wir haben folgende Aufgabe von unserem Lehrer über die Ferien zum Lösen bekommen, ich komme aber irgendwie nicht auf die Lösung.

(siehe angehängte Skizze) Der Punkt A entsteht aus dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Strecke EF mit dem Kreis um M durch die Punkte E und F.
E, M und F bilden ein gleichseitiges Dreieck.

Nun sollen wir eine Begründung dafür finden, dass der Halbreis über EF in der Skizze in 6 gleich große Stücke geteilt wird.

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen smile

Meine Ideen:
Für mich ist nur die Teilung in der Mitte ersichtlich, da die Mittelsenkrecht folglich auch den Halbreis über der Strecke in zwei gleich große Teile teilt.
Auch hatte ich den Ansatz mit den 60 Grad Winkeln im gleichseitigen Dreieck, dort bin ich aber auch nicht weit gekommen mit den Überlegungen.

01.11.2018, 15:03

HAL 9000

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Die "äußeren" Winkel im grünen Halbkreis folgen mittelbar aus $\begin{eqnarray*} \left| \angle FAE \right| = \frac{1}{2} \left| \angle FME \right| = 30^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

01.11.2018, 15:09

0102mar1

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weil der abstand zu FE doppelt so groß ist, oder?
aber warum wird dann der Bogen in 6 gleich große Stücke unterteilt?

01.11.2018, 15:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von 0102mar1
weil der abstand zu FE doppelt so groß ist, oder?

Nein, weil der Peripherie-Zentriwinkel-Satz (bisweilen auch Kreiswinkelsatz genannt) gilt. Und falls du den nicht kennengelernt hast (soll ja heutzutage mit der Geometrie in der Schule nicht mehr so weit her sein), dann folgt es auch aus der Gleichschenkligkeit der Dreiecke $\begin{eqnarray*} EAM \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} AFM \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von 0102mar1
aber warum wird dann der Bogen in 6 gleich große Stücke unterteilt?

Wenn ich mal mit $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ den Schnittpunkt deines Halbkreises mit der Strecke $\begin{eqnarray*} EA \end{eqnarray*}$ bezeichne, und mit $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ den Mittelpunkt von $\begin{eqnarray*} EF \end{eqnarray*}$ , dann sind die Dreiecke $\begin{eqnarray*} FEA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ESG \end{eqnarray*}$ ähnlich, somit ist

$\begin{eqnarray*} \left| \angle EGS \right| = \left| \angle FAE \right| = 30^{\circ} \end{eqnarray*}$ ,

und das ist genau $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ des gestreckten Winkels $\begin{eqnarray*} 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

01.11.2018, 17:43

0102mar2

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Dass die Dreiecke ähnlich sind sehe ich zwar natürlich, aber lässt sich das auch irgendwie begründen bzw. beweisen?

Vielen Dank übrigens für die gute Erklärung

01.11.2018, 17:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von 0102mar2
Dass die Dreiecke ähnlich sind sehe ich zwar natürlich, aber lässt sich das auch irgendwie begründen bzw. beweisen?

Über dieses "sehen, aber nicht beweisen" kann ich nur den Kopf schütteln: Für mich heißt "sehen" auch "beweisen können". unglücklich

Beide Dreiecke sind gleichschenklig, und ein Basiswinkel des einen Dreiecks stimmt mit einem Basiswinkel des anderen Dreiecks überein (der bei E) - das reicht für Ähnlichkeit.

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