Transitivität prüfen von Relation mit zwei Elementen?

01.11.2018, 19:47	Juis	Auf diesen Beitrag antworten »
Transitivität prüfen von Relation mit zwei Elementen? Sitze daran jetzt schon stundenlang, und kann mir nicht erklären, wie die Definition für Transitivität das zulassen soll. Angenommen wir haben eine Menge K = {5,6,7,8} und die Relation (auf K): R = { (5,6), (6,5) } Frage: Ist diese Relation transitiv? Definition lautet ja, dass für alle a, b gilt, dass a ~ b und b ~ c => a ~ c. Allerdings fehlt ja jetzt hier mein drittes Element, wie soll ich also hier vorgehen? Hat es etwas mit der leeren Menge zu tun? Gruß Juis
01.11.2018, 20:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus der Transitivität folgt: $\begin{eqnarray} (5,6)\in R\wedge (6,5)\in R\Rightarrow (5,5) \in R \end{eqnarray}$ Mit der leeren Menge hat das nichts zu tun.
01.11.2018, 20:19	Juis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, die Idee hatte ich auch vorhin, war mir aber unsicher. Danke sehr. Gruß, Juis.
02.11.2018, 09:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte: Weil $\begin{eqnarray} (5,5) \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ liegt, ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ nicht transitiv.
04.11.2018, 02:51	Juis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, das wusste ich. ^^ Allerdings frage ich mich jetzt doch noch, ob nicht noch aus (5,6) ∈ R ^ (6,5) ∈ R => (6,6) ∈ R folgen würde? Kommutativgesetz gilt ja für logisches Und, aber das darf ja dann nicht wirklich was am Resultat ändern. Warum also genau nur (5,5) und nicht vielleicht auch noch (6,6)? Gruß, Juis
04.11.2018, 08:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht lesbar, trotzdem bin ich sicher, dass du einen Denkfehler hast. R enthält 2 Elemente, (5,5) und (6,6) gehört nicht dazu. Nicht transitive Relation ist nicht transitive Relation, egal wie viele Gründe es dafür gibt.
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04.11.2018, 09:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst daran etwas wichtiges über Beweistechnik lernen. Ein Beweis für die Transitivitaet muss zeigen, dass diese Eigenschaft für alle Elemente von R gilt. Ein Beweis gegen die Transitivitaet benötigt nur ein einziges Gegenbeispiel. ("Asymmetrie der Beweisführung")

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